2022年高考理科数学天津卷.docx

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绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
数学（理）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
参考公式：
l 如果事件，互斥，那么.
l 如果事件，相互独立，那么.
l 棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.
l 棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设全集为，集合，，则 (　　)
A. B.
C. D.
2.设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为 (　　)
A.6 B.19 C.21 D.45
3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为 (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4
4.设，则“”是“”的 (　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知，，，则，，的大小关系为 (　　)
A. B. C. D.
6.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A.在区间上单调递增 B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减
7.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点.设,到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 (　　)
A. B.
C. D.
8.如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点，则的最小值为 (　　)

A. B. C. D.3
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把答案填写在题中横线上)
9.是虚数单位，复数　　　　.
10.在的展开式中，的系数为　　　　.
11.已知正方形的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点，，，，（如图），则四棱锥的体积为　　　　.

12.已知圆的圆心为，直线（为参数）与该圆相交于，两点，则的面积为　　　　.
13.已知，且，则的最小值为　　　　.
14.已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是　　　　.
三、解答题：共80分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.
（1）求角的大小；
（2）设，，求和的值.

16.(本小题满分13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
①用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；
②设为事件“抽取的3人，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率.

-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------
17.(本小题满分13分)如图，且，，且，且，平面，.
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长.

18.(本小题满分13分)设是等比数列，公比大于0，其前项和为，
是等差数列.已知，，，.
（1）求和的通项公式.
（2）设数列的前项和为，
①求；
②证明.

19.(本小题满分14分)设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且.
（1）求椭圆的方程.
（2）设直线：与椭圆在第一象限的交点为，且与直线交于点.若（为原点），求的值.

20.(本小题满分14分)已知函数，，其中.
（1）求函数的单调区间；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；
（3）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线.
数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）