2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖北卷.doc

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数　　学（理工农医类）
本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟

注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘巾在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。
3. 非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设a=(1,－2),b=(－3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=
A.(－15,12)　　　　B.0 C.－3 D.－11
2. 若非空集合A,B,C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则
A. “x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B. “x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C. “x∈C”是“x∈A”的充要条件
D. “x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为
A. B. C. D.
4. 函数f(x)=的定义域为
A.(－ ∞,－4) ∪［2,+ ∞］ B.(－4,0)∪(0,1)
C.［－4,0］∪（0，1）　　　　　 　　　D. ［－4，0］∪（0，1）
5.将函数y=3sin（x－θ）的图象F按向量（，3）平移得到图象F′ ，若F′的一条对称轴是直线x=,则θ的一个可能取值是
A. B. C. D. －
6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为
A.540 B.300 C.180 D.150
7.若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是
A.[－1，+∞) B.（－1，+∞） C.（－∞，－1] D.（－∞，－1）
8.已知m∈N*,a,b∈R，若,则a·b=
A．－m B．m C．－1 D．1
9.过点A（11，2）作圆的弦，其中弦长为整数的共有
A.16条 B.17条 C.32条 D.34条
10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①a1+c1=a2+c2; ②a1－c1=a2－c2; ③c1a2＞a1c2; ④＜.
其中正确式子的序号是
A.①③　　　　　　　B.②③　　　　C.①④　　　　D.②④
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.
11.设z1是复数，z2=z1－i (其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为 .
12．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccosA+cacosB+abcosC的值为 .
13.已知函数f(x)=x2+2x+a, f(bx)=9x2－6x+2,其中x∈R，a,b为常数，则方程f(ax+b)=0的解集为 .
14.已知函数f(x)=2x,等差数列{ax}的公差为2，若 f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则
log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]= .
15.观察下列等式：

……………………………………

可以推测，当k≥2（k∈N*）时，
ak－2= .
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知函数f(t)=
（Ⅰ）将函数g(x)化简成Asin(ωx+φ)+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；
（Ⅱ）求函数g(x)的值域.
17.（本小题满分12分）
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.
（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若η=aξ－b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.

18.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1.

（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1－BC－A的大小为，试判断θ与的大小关系，并予以证明.
19.（本小题满分13分）
如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，
∠POB=30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.
若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围.
20.(本小题满分12分)
水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为
V（t）=

（Ⅰ）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i－1＜t＜i表示第i月份（i=1,2,…,12）,问一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.
21.(本小题满分14分)
已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ,an+1=其中λ为实数，n为正整数.
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0＜a＜b,Sn为数列{bn}的前n项和。是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.
2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分.
1.C 2.B 3.B 4.D 5.A
6.D 7.C 8.A 9.C 10.B
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分.
11. 1　　 12. 　 13. 　 14. －6　 15. ，0
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）

　＝
（Ⅱ）由得
在上为减函数，在上为增函数，
又（当），
即
故g(x)的值域为
17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）的分布列为：

0
1
2
3
4
P

∴
D（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以
当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=－2;
当a=－2时，由1＝－2×1.5+b，得b=4.
∴或即为所求.
18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）
（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作
AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得
AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，
则AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BC.
又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，
又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.
（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A1BC所成的角，
是二面角A1—BC—A的平面角，即
于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，
由AB＜AC，得又所以
解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a, AC=b,AB=c,
则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是

设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则
由得
可取n=(0,－a,c)，于是与n的夹角为锐角，则与互为余角.

所以
于是由c＜b，得
即又所以
19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）
（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（－2，0），B（2，0），D(0,2)，P（），依题意得
|｜MA｜－｜MB｜|=｜PA｜－｜PB｜＝＜
｜AB｜＝4.
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2－a2=2.
∴曲线C的方程为.
解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得
|｜MA｜－｜MB｜|=｜PA｜－｜PB｜＜｜AB｜＝4.
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.
设双曲线的方程为＞0，b＞0）.
则由　 解得a2=b2=2,
∴曲线C的方程为

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理
得（1－k2）x2－4kx－6=0. ①
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴ 　　
∴k∈（－,－1）∪（－1，1）∪（1，）. ②
设E（x1，y1），F(x2, y2)，则由①式得x1+x2=,于是
｜EF｜＝
＝
而原点O到直线l的距离d＝，
∴S△DEF=
若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有
③
综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[－，－1]∪(-1,1) ∪(1, ).
解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1－k2）x2－4kx－6=0. ①
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴ .
∴k∈（－，－1）∪（－1，1）∪（1，）. ②
设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得
｜x1－x2｜= ③
当E、F在同一支上时（如图1所示），
S△OEF＝
当E、F在不同支上时（如图2所示）.
S△ODE=
综上得S△OEF＝于是
由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=
若△OEF面积不小于2
　④
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[－，－1]∪（－1，1）∪（1，）.
20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）①当0＜t10时，V(t)=(－t2+14t－40)
化简得t2－14t+40>0,
解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.
②当10＜t12时，V（t）＝4（t－10）（3t－41）+50＜50,
化简得（t－10）（3t－41）＜0,
解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.
综合得0<t<4,或10<t12,
故知枯水期为1月，2月， 3月，4月，11月，12月共6个月.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.
由V′（t）=
令V′(t)=0,解得t=8(t=－2舍去).
当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表：
t
(4,8)
8
(8,10)
V′(t)
+
0
－
V(t)

极大值

由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2+50－108.32(亿立方米).
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米
21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）
（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有=a1a3,即
矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
(Ⅱ)解：因为bn+1=(－1)n+1［an+1－3(n+1)+21］=(－1)n+1(an－2n+14)
=－(－1)n·（an－3n+21）=－bn
又b1=－(λ+18),所以
当λ＝－18，bn=0(n∈N*),此时｛bn｝不是等比数列：
当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N*).
故当λ≠－18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=－18时, bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠－18，故知bn= －（λ+18）·（－）n－1，于是可得
Sn=－
要使a<Sn<b对任意正整数n成立，
即a<－(λ+18)·［1－（－）n］<b(n∈N*)
(n∈N*) ①

当n为正奇数时，1<f(n)
∴f(n)的最大值为f(1)=, f(n)的最小值为f(2)= ,
于是，由①式得a<－(λ+18) <
当a<b3a时，由－b－18=－3a－18知，不存在实数λ满足题目要求；
当b>3a时，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a<Sn<b，且λ的取值范围是
（－b－18,－3a－18）.