2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题(江西卷详解).docx

2022·江西卷(理科数学)
1．[2022·江西卷] 是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z＝(　　)
A．1＋iB．－1－i
C．－1＋iD．1－i
1．D[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi，所以2a＝2，－2b＝2，得a＝1，b＝－1，故z＝1－i.
2．[2022·江西卷] 函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　)
A．(0，1] B．[0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
2．C[解析]由x2－x>0，得x>1或x<0.
3．[2022·江西卷] 函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．假设f[g(1)]＝1，那么a＝(　　)
A．1B．2 C．3D．－1
3．A[解析]g(1)＝a－1，由f[g(1)]＝1，得5|a－1|＝1，所以|a－1|＝0，故a＝1.
4．[2022·江西卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.假设c2＝(a－b)2＋6，C＝，那么△ABC的面积是(　　)
A．3B.C.D．3
4．C[解析]由余弦定理得，cosC＝＝＝，所以ab＝6，所以S△ABC＝absinC＝.
5．[2022·江西卷] 一几何体的直观图如图1­1所示，以下给出的四个俯视图中正确的选项是(　　)
图1­1
ABCD
图1­2
5．B[解析]易知该几何体的俯视图为选项B中的图形．
6．[2022·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，那么与性别有关联的可能性最大的变量是(　　)
表1表2
　成绩
性别　
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
　视力
性别　
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3表4
　智商
性别　
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
　　阅读量
性别　
丰富
不丰
富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩B．视力C．智商D．阅读量
6．D[解析]根据独立性检验计算可知，阅读量与性别有关联的可能性较大．
7．[2022·江西卷]阅读如图1­3所示的程序框图，运行相应的程序，那么程序运行后输出的结果为(　　)
图1­3
A．7B．9 C．10D．11
7．B[解析]由程序框图可知，运算过程如下表：

S
S<－1
i
输出
赋初值
0

1

开始
S＝0＋lg＝
－lg 3>－1
否
3

S＝－lg 3＋lg＝
－lg 5>－1
否
5

S＝－lg 5＋lg
＝－lg 7>－1
否
7

S＝－lg 7＋lg＝
－lg 9>－1
否
9

S＝－lg 9＋lg＝
－lg 11<－1
是

9
8.[2022·江西卷] 假设f(x)＝x2＋2f(x)dx，那么f(x)dx＝(　　)
A．－1B．－C.D．1
8．B[解析]f(x)dx＝dx＝＝＋2f(x)dx，得f(x)dx＝－.
9．[2022·江西卷] 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，假设以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，那么圆C面积的最小值为(　　)
A.πB.π
C．(6－2)πD.π
9．A[解析]由题意知，圆C必过点O(0，0)，故要使圆C的面积最小，那么点O到直线l的距离为圆C的直径，即2r＝，所以r＝，所以S＝π.
图1­4
10．[2022·江西卷] 如图1­4所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝11，AD＝7，AA1＝12.一质点从顶点A射向点E(4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i－1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i＝2，3，4)，L1＝AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，那么大致的图形是(　　)
AB
CD
图1­5
10．C[解析]由题意，L1＝AE＝13.
易知点E在底面ABCD上的投影为F(4，3，0)，根据光的反射原理知，直线AE和从点E射向点E1的直线E1E关于EF对称，因此E1(8，6，0)，且L2＝L1＝13.
此时，直线EE1和从点E1射出所得的直线E1E2关于过点E1(8，6，0)和底面ABCD垂直的直线对称，得E′2(12，9，12)．因为12>11，9>7，所以这次射出的点应在面CDD1C1上，设为E2，求得L3＝E1E2＝，L3<L2＝L1.最后一次，从点E2射出，落在平面A1B1C1D1上，求得L4＝>L3.应选C.
11．[2022·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为(　　)
A．1B．2 C．3D．4
[2022·江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)假设以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，那么线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
11．(1)C[解析] 易知|x－1|＋|x|≥1，当且仅当0≤x≤1时等号成立；|y－1|＋|y＋1|≥2, 当且仅当－1≤y≤1时等号成立．
故|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.
(2)A　[解析]依题意，方程y＝1－x的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝1，整理得ρ＝.因为0≤x≤1，所以0≤y≤1，结合图形可知，0≤θ≤.
12．[2022·江西卷] 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，那么恰好取到1件次品的概率是________．
12.[解析]由超几何分布的概率公式可得P(恰好取到一件次品)＝＝.
13．[2022·江西卷] 假设曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，那么点P的坐标是________．
13．(－ln2，2)　[解析] 设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝－e－x.又切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可得x0＝－ln2，此时y＝2，所以点P的坐标为(－ln2，2)．
14．[2022·江西卷] 单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，那么cosβ＝________．
14.[解析]cosβ＝＝＝
＝
＝＝.
15．[2022·江西卷] 过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，假设M是线段AB的中点，那么椭圆C的离心率等于________．
15.[解析]设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，点M是线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且两式作差可得＝
，即＝，所以＝－，
即kAB＝－.由题意可知，直线AB的斜率为－，所以－＝－，即a＝b.又a2＝b2＋c2，
所以c＝b，e＝.
16．、[2022·江西卷] 函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.
(1)当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)假设f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
16．解：(1)f(x)＝sin＋cos＝
(sinx＋cosx)－sinx＝cosx－sinx＝sin.
因为x∈[0，π]，所以－x∈，
故f(x)在区间[0，π]上的最大值为，最小值为－1.
(2)由得
又θ∈，知cosθ≠0，
所以
解得
17．、、[2022·江西卷] 首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；
(2)假设bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.
17．解：(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以－＝2，即cn＋1－cn＝2，
所以数列{cn}是以c1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故cn＝2n－1.
(2)由bn＝3n－1，知an＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}的前n项和Sn＝130＋331＋532＋…＋(2n－1)3n－1，3Sn＝131＋332＋…＋(2n－3)3n－1＋(2n－1)3n，将两式相减得－2Sn＝1＋2(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)3n＝－2－(2n－2)3n，
所以Sn＝(n－1)3n＋1.
18．、[2022·江西卷] 函数f(x)＝(x2＋bx＋b)(b∈R)．
(1)当b＝4时，求f(x)的极值；
(2)假设f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围．
18．解：(1)当b＝4时，f′(x)＝，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.
所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.
(2)f′(x)＝，易知当x∈时，<0，
依题意当x∈时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0，得b≤.
所以b的取值范围为.
19．、、[2022·江西卷] 如图1­6，四棱锥P­ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.
图1­6
(1)求证：AB⊥PD.
(2)假设∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P­ABCD的体积最大并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
19．解：(1)证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.
(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.
故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.
在Rt△BPC中，PG＝，GC＝，BG＝.
设AB＝m，那么OP＝＝，故四棱锥P­ABCD的体积为
V＝·m·＝.
因为m＝＝
，
所以当m＝，即AB＝时，四棱锥P­ABCD的体积最大．
此时，建立如下列图的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O(0，0，0)，B，C，D，P，故＝，＝(0，，0)，CD＝.
设平面BPC的一个法向量为n1＝(x，y，1)，
那么由n1⊥，n1⊥，得解得x＝1，y＝0，那么n1＝(1，0，1)．
同理可求出平面DPC的一个法向量为n2＝.
设平面BPC与平面DPC的夹角为θ，那么cosθ＝＝＝.
20．[2022·江西卷] 如图1­7所示，双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．
图1­7
(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．
20．解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝.
由题意，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，所以B.
又直线OA的方程为y＝x，
那么A，所以kAB＝＝.
又因为AB⊥OB，所以·＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由(1)知a＝，那么直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．
因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x＝的交点为N，，
那么＝＝＝
·.
又P(x0，y0)是C上一点，那么－y＝1，
代入上式得＝·＝·＝，所以＝＝，为定值．
21．、、[2022·江西卷]随机将1，2，…，2n(n∈N*，n≥2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数．A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2.记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.
(1)当n＝3时，求ξ的分布列和数学期望；
(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等〞，求事件C发生的概率P(C)；
(3)对(2)中的事件C，表示C的对立事件，判断P(C)和P()的大小关系，并说明理由．
21．解：(1)当n＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.
将6个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有C＝20(种)，所以ξ的分布列为：
ξ
2
3
4
5
P

Eξ＝2＋3＋4＋5＝.
(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n－1，n，n＋1，…，2n－2.
又ξ和η恰好相等且等于n－1时，不同的分组方法有2种；
ξ和η恰好相等且等于n时，不同的分组方法有2种；
ξ和η恰好相等且等于n＋k(k＝1，2，…，n－2)(n≥3)时，不同的分组方法有2C种．
所以当n＝2时，P(C)＝＝，
当n≥3时，P(C)＝.
(3)由(2)得，当n＝2时，P(C)＝，因此P(C)>P(C)．而当n≥3时，P(C)<P(C)．
理由如下：
P(C)<P(C)等价于4(2＋∑C)<C，①
用数学归纳法来证明：
(i)当n＝3时，①式左边＝4(2＋C)＝4(2＋2)＝16，①式右边＝C＝20，所以①式成立．
(ii)假设n＝m(m≥3)时①式成立，即
4<C成立，
那么，当n＝m＋1时，
左边＝4＝4＋4C<C＋4C＝＋＝<
＝C·
<C＝右边，
即当n＝m＋1时，①式也成立．
综合(i)(ii)得，对于n≥3的所有正整数，都有P(C)<P(C)成立．