2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)试题(湖南卷详解).docx

2022·湖南卷(文科数学)
1．[2022·湖南卷] 设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，那么綈p为(　　)
A．∃x0∈R，x＋1＞0B．∃x0∈R，x＋1≤0
C．∃x0∈R，x＋1＜0D．∀x∈R，x2＋1≤0
1．B[解析]由全称命题的否认形式可得綈p：∃x0∈R，x＋1≤0.
2．[2022·湖南卷] 集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，那么A∩B＝(　　)
A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}
C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3}
2．C[解析]由集合运算可知A∩B＝{x|2＜x＜3}．
3．[2022·湖南卷] 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，中选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，那么(　　)
A．p1＝p2＜p3B．p2＝p3＜p1
C．p1＝p3＜p2D．p1＝p2＝p3
3．D[解析]不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为.
4．、[2022·湖南卷] 以下函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x
4．A[解析]由偶函数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得B不对．
5．[2022·湖南卷] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X，那么X≤1的概率为(　　)
A.B.
C.D.
5．B[解析]由几何概型概率计算公式可得P＝＝.
6．[2022·湖南卷] 假设圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，那么m＝(　　)
A．21B．19 C．9D．－11
6．C[解析]依题意可得C1(0，0)，C2(3，4)，那么|C1C2|＝＝5.又r1＝1，r2＝，由r1＋r2＝＋1＝5，解得m＝9.
7．[2022·湖南卷] 执行如图1­1所示的程序框图，如果输入的t∈[－2，2]，那么输出的S属于(　　)
图1­1
A．[－6，－2] B．[－5，－1]
C．[－4，5] D．[－3，6]
7．D[解析] (特值法)当t＝－2时，t＝2(－2)2＋1＝9，S＝9－3＝6，排除A，B，C.
8．、[2022·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1­2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，那么能得到的最大球的半径等于(　　)
图1­2
A．1B．2 C．3D．4
8．B[解析]由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得R＝＝2.
9．[2022·湖南卷] 假设0＜x1＜x2＜1，那么(　　)
A．ex2－ex1＞lnx2－lnx1
B．ex2－ex1＜lnx2－lnx1
C．x2ex1＞x1ex2
D．x2ex1＜x1ex2
9．C[解析] 依题可构造函数f(x)＝，那么f′(x)＝＝.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，所以f(x)＝在区间(0，1)上递减，故0＜x1＜x2＜1时有f(x1)＞f(x2)，即x2ex1＞x1ex2.
10．[2022·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，那么|＋＋|的取值范围是(　　)
A．[4，6] B．[－1，＋1]
C．[2，2] D．[－1，＋1]
10．D[解析]由||＝1，得动点D在以点C为圆心，半径为1的圆上，故可设D(3＋cosα，sinα)，
所以＋＋＝(2＋cos α，＋sinα)，所以|＋＋|2＝(2＋cosα)2＋(＋sinα)2＝8＋4cosα＋2sinα＝8＋2sin(α＋φ)，
所以|＋＋|2∈[8－2，8＋2]，即|＋＋|∈[－1，＋1]．
11．[2022·湖南卷] 复数(i为虚数单位)的实部等于________．
11．－3[解析]因为＝＝－3－i，所以实部为－3.
12．[2022·湖南卷] 在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．
12．x－y－1＝0[解析]依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.
13．[2022·湖南卷] 假设变量x，y满足约束条件那么z＝2x＋y的最大值为________．
13．7[解析]依题意，画出可行域，如下列图．
由得点B的坐标为(3，1)，那么z＝2x＋y在B(3，1)处取得最大值7.
14．、[2022·湖南卷]平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．假设机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，那么k的取值范围是________．
14．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析]依题意可知机器人运行的轨迹方程为y2＝4x.设直线l：y＝k(x＋1)，联立消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，得k2＞1，解得k＜－1或k＞1.
15．[2022·湖南卷] 假设f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，那么a＝________．
15．－[解析]由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
∴2ax＝－lne3x＝－3x，∴a＝－.
16．、[2022·湖南卷] 数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
16.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，那么T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
那么A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
17．、[2022·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)．
其中a，a分别表示甲组研发成功和失败；b，b分别表示乙组研发成功和失败．
(1)假设某组成功研发一种新产品，那么给该组记1分，否那么记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平．
(2)假设该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．
17．解：(1)甲组研发新产品的成绩为
1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，
其平均数为x甲＝＝，
方差为s＝＝.
乙组研发新产品的成绩为
1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，
其平均数为x乙＝＝，
方差为s＝＝.
因为x甲＞x乙，s＜s，所以甲组的研发水平优于乙组．
(2)记E＝{恰有一组研发成功}．
在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，
共7个，故事件E发生的频率为.
将频率视为概率，即得所求概率为P(E)＝.
18．、[2022·湖南卷] 如图1­3所示，二面角α­MN­β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.
图1­3
(1)证明：AB⊥平面ODE；
(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．
18．解：(1)证明：如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB.
连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.
(2)因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角．
由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α­MN­β的平面角，从而∠DEO＝60°.
不妨设AB＝2，那么AD＝2，易知DE＝.
在Rt△DOE中，DO＝DE·sin60°＝.
连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝＝
＝.
故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.
19．、、[2022·湖南卷] 如图1­4所示，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，∠BEC＝.
(1)求sin∠CED的值；
(2)求BE的长．
图1­4
19．解：设∠CED＝α.
(1)在△CDE中，由余弦定理，得
EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，
于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－
6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．
在△CDE中，由正弦定理，得＝.
于是，sinα＝＝＝，即
sin∠CED＝.
(2)由题设知，0＜α＜，于是由(1)知，
cosα＝＝＝.
而∠AEB＝－α，所以
cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α
＝－cos α＋sin α
＝－＋＝.
在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝，故
BE＝＝＝4.
20．、、[2022·湖南卷] 如图1­5所示，O为坐标原点，双曲线C1：－＝1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)均过点P，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．
(1)求C1，C2的方程．
(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|＋|＝|AB|证明你的结论.
图1­5
20．解：(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2，2a1＝2，从而a1＝1，c2＝1.因为点P在双曲线x2－＝1上，所以－＝1，故b＝3.
由椭圆的定义知
2a2＝＋＝2.
于是a2＝，b＝a－c＝2.故C1，C2的方程分别为x2－＝1，＋＝1.
(2)不存在符合题设条件的直线．
(i)假设直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝或x＝－.
当x＝时，易知A(，)，B(，－)，所以
|＋|＝2，||＝2.
此时，|＋|≠||.
当x＝－时，同理可知，|＋|≠||.
(ii)假设直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m，
由得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0.
当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1，x2是上述方程的两个实根，从而
x1＋x2＝，x1x2＝.
于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.
由得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0.
化简，得2k2＝m2－3.因此
·＝x1x2＋y1y2＝＋＝≠0，
于是2＋2＋2·≠2＋2－2·，即|＋|2≠|－|2.
故|＋|≠||.
综合(i)，(ii)可知，不存在符合题设条件的直线．
21．、[2022·湖南卷] 函数f(x)＝xcosx－sinx＋1(x＞0)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有＋＋…＋＜.
21．解： (1)f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.
令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*)．
当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sinx>0，此时f′(x)<0;
当x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sinx<0，此时f′(x)>0.
故f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)．
(2)由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减．又f＝0，故x1＝.
当n∈N*时，因为
f(nπ)f＝[(－1)nnπ＋1][(－1)n＋1(n＋1)π＋1]＜0，
且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)内至少存在一个零点．又f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)上是单调的，故
nπ＜xn＋1＜(n＋1)π.
因此，当n＝1时，＝＜；
当n＝2时，＋＜(4＋1)＜；
当n≥3时，
＋＋…＋<
＜＜
＝＜＜.
综上所述，对一切n∈N*，＋＋…＋＜.