2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)试题(浙江卷详解).docx

2022·浙江卷(文科数学)
1．[2022·浙江卷] 设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，那么S∩T＝(　　)
A．(－∞，5] B．[2，＋∞)
C．(2，5) D．[2，5]
1．D[解析]依题意，易得S∩T＝[2，5] ，应选D.
2．[2022·浙江卷] 设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，那么“四边形ABCD为菱形〞是“AC⊥BD〞的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．A[解析]假设四边形ABCD为菱形，那么AC⊥BD；反之，假设AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定为平行四边形．故“四边形ABCD为菱形〞是“AC⊥BD〞的充分不必要条件．应选A.
3．[2022·浙江卷] 某几何体的三视图(单位：cm)如下列图，那么该几何体的体积是(　　)
图1­1
A．72 cm3B．90 cm3
C．108 cm3D．138 cm3
3．B[解析]此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的，其体积为643＋343＝90 cm3，应选B.
4．[2022·浙江卷] 为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝cos3x的图像(　　)
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
4．A[解析]y＝sin3x＋cos3x＝cos＝cos，故将函数y＝cos3x的图像向右平移个单位可以得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，应选A.
5．[2022·浙江卷] 圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，那么实数a的值是(　　)
A．－2B．－4
C．－6D．－8
5．B[解析] 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，r2＝2－a，那么圆心(－1，1)到直线x＋y＋2＝0的距离为＝.由22＋()2＝2－a，得a＝－4, 应选B.
6．、[2022·浙江卷] 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(　　)
A．假设m⊥n，n∥α，那么m⊥α
B．假设m∥β，β⊥α，那么m⊥α
C．假设m⊥β，n⊥β，n⊥α，那么m⊥α
D．假设m⊥n，n⊥β，β⊥α，那么m⊥α
6．C[解析]A，B，D中m与平面α可能平行、相交或m在平面内α；对于C，假设m⊥β，n⊥β，那么m∥n，而n⊥α，所以m⊥α.应选C.
7．[2022·浙江卷] 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，那么(　　)
A．c≤3B．3＜c≤6
C．6＜c≤9D．c＞9
7．C[解析]由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得⇒
⇒
那么f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，而0<f(－1)≤3，故0<－6＋c≤3，∴6<c≤9，应选C.
8．、[2022·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图像可能是(　　)
AB
CD
图1­2
8．D[解析]只有选项D符合，此时0<a<1，幂函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且当x∈(0，1)时，f(x)的图像在直线y＝x的上方，对数函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数．应选D.
9．[2022·浙江卷] 设θ为两个非零向量a，b的夹角．对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1(　　)
A．假设θ确定，那么|a|唯一确定
B．假设θ确定，那么|b|唯一确定
C．假设|a|确定，那么θ唯一确定
D．假设|b|确定，那么θ唯一确定
9．B[解析]|b＋ta|≥1，那么a2t2＋2|a||b|tcosθ＋b2的最小值为1，这是关于t的二次函数，故最小值为＝1，得到4a2b2sin2θ＝4a2，故|b|sinθ＝1.假设|b|确定，那么存在两个θ满足条件，且两个θ互补；假设θ确定，那么|b|唯一确定．应选B.
10．[2022·浙江卷] 如图1­3，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)．假设AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，那么tanθ的最大值是(　　)
图1­3
A.B.
C.D.
10．D[解析]由勾股定理得BC＝20 m．如图，过P点作PD⊥BC于D，连接AD，那么由点A观察点P的仰角θ＝∠PAD，tanθ＝.设PD＝x，那么DC＝x，BD＝20－x，在Rt△ABD中，AD＝＝，所以tanθ＝＝＝≤，故tanθ的最大值为，应选D.
11．[2022·浙江卷] i是虚数单位，计算＝________．
11．－－i[解析]＝＝＝＝－－i.
12．[2022·浙江卷] 假设实数x，y满足那么x＋y的取值范围是________．
12．[1，3]　[解析]实数x，y满足的可行域如图中阴影局部(包括边界)所示，图中A(1，0)，B(2，1)，C.令z＝x＋y，那么y＝－x＋z.当直线y＝－x＋z经过A点时，z取最小值1；经过B点时，z取最大值3.故x＋y的取值范围是[1，3]．
13．[2022·浙江卷] 假设某程序框图如图1­4所示，当输入50时，那么该程序运行后输出的结果是________．
图1­4
13．6[解析]第一次运行，S＝1，i＝2；第二次运行，S＝4，i＝3；第三次运行，S＝11，i＝4；第四次运行，S＝26，i＝5；第五次运行，S＝57，i＝6，此时S>n，输出i＝6.
14．[2022·浙江卷] 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．
14.[解析]根本领件的总数为32＝6，甲、乙两人各抽取一张奖券，两人都中奖只有2种情况，所以两人都中奖的概率P＝＝.
15．[2022·浙江卷] 设函数f(x)＝假设f(f(a))＝2，那么a＝________.
15.[解析]令t＝f(a)，假设f(t)＝2，那么t2＋2t＋2＝2满足条件，此时t＝0或t＝－2，所以f(a)＝0或f(a)＝－2，只有－a2＝－2满足条件，故a＝.
16．[2022·浙江卷] 实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，那么a的最大值是________．
16.[解析]方法一：令b＝x，c＝y，那么x＋y＝－a，x2＋y2＝1－a2，此时直线x＋y＝－a与圆x2＋y2＝1－a2有交点，那么圆心到直线的距离d＝≤，解得a2≤，所以a的最大值为.
方法二：将c＝－(a＋b)代入a2＋b2＋c2＝1得2b2＋2ab＋2a2－1＝0，此关于b的方程有实数解，那么Δ＝(2a)2－8(2a2－1)≥0，整理得到a2≤，所以a的最大值为.
17．[2022·浙江卷]设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B.假设点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，那么该双曲线的离心率是________．
17.[解析]双曲线的渐近线为y＝±x，易求得渐近线与直线x－3y＋m＝0的交点为A，B.设AB的中点为D.由|PA|＝|PB|知AB与DP垂直，那么D，kDP＝－3，
解得a2＝4b2，故该双曲线的离心率是.
18．[2022·浙江卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.4sin2＋4sinAsinB＝2＋.
(1)求角C的大小；
(2)b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．
18．解：(1)由得
2[1－cos(A－B)]＋4sinAsinB＝2＋，
化简得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝，
故cos(A＋B)＝－，
所以A＋B＝，从而C＝.
(2)因为S△ABC＝absinC，
由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝3.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c＝.
19．[2022·浙江卷] 等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
19．解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，
将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.
因为d>0，所以d＝2.
从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．
(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，
所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.
由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，
故所以
20．、[2022·浙江卷]如图1­5，在四棱锥A­BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.
图1­5
(1)证明：AC⊥平面BCDE；
(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．
20．解：(1)证明：连接BD，在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE.
(2)在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝，DC＝2，得BD⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，所以BD⊥平面ABC.
作EF∥BD，与CB的延长线交于点F，连接AF，那么EF⊥平面ABC.
所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角．
在Rt△BEF中，由EB＝1，∠EBF＝，得EF＝，BF＝；
在Rt△ACF中，由AC＝，CF＝，
得AF＝.
在Rt△AEF中，由EF＝，AF＝，
得tan∠EAF＝.
所以，直线AE与平面ABC所成的角的正切值是.
21．[2022·浙江卷] 函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a＞0)．假设f(x)在[－1，1]上的最小值记为g(a)．
(1)求g(a)；
(2)证明：当x∈[－1，1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.
21．解：(1)因为a>0，－1≤x≤1，所以，
(i)当0<a<1时，假设x∈[－1，a]，那么f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3<0，故f(x)在(－1，a)上是减函数；
假设x∈[a，1]，那么f(x)＝x3＋3x－3a，f′(x)＝3x2＋3>0，故f(x)在(a，1)上是增函数．
所以g(a)＝f(a)＝a3.
(ii)当a≥1时，有x≤a，那么f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3<0，故f(x)在(－1，1)上是减函数，所以g(a)＝f(1)＝－2＋3a.
综上，g(a)＝
(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(a)．
(i)当0<a<1时，g(a)＝a3.
假设x∈[a，1]，那么h(x)＝x3＋3x－3a－a3，得h′(x)＝3x2＋3>0，那么h(x)在(a，1)上是增函数，所以h(x)在[a，1]上的最大值是h(1)＝4－3a－a3，而0<a<1，所以h(1)<4，故f(x)≤g(a)＋4.
假设x∈[－1，a]，那么h(x)＝x3－3x＋3a－a3≤0，得h′(x)＝3x2－3，那么h(x)在(－1，a)上是减函数，所以h(x)在[－1，a]上的最大值是h(－1)＝2＋3a－a3，令t(a)＝2＋3a－a3，那么t′(a)＝3－3a2>0，知t(a)在(0，1)上是增函数，所以t(a)<t(1)＝4，即h(－1)<4.故f(x)≤g(a)＋4.
(ii)当a≥1时，g(a)＝－2＋3a，故h(x)＝x3－3x＋2，得h′(x)＝3x2－3≤0，此时h(x)在(－1，1)上是减函数，因此h(x)在[－1，1]上的最大值是h(－1)＝4.故f(x)≤g(a)＋4.
综上，当x∈[－1，1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.
22．、[2022·浙江卷] △ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，＝3FM.
图1­6
(1)假设|PF|＝3，求点M的坐标；
(2)求△ABP面积的最大值．
22．解：(1)由题意知焦点F(0，1)，准线方程为y＝－1.
设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到y0＝2，所以P(2，2)或P(－2，2)．
由PF＝3FM，分别得M或M.
(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．
由得x2－4kx－4m＝0，
于是Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，
所以AB中点M的坐标为(2k，2k2＋m)．
由＝3，
得(－x0，1－y0)＝3(2k，2k2＋m－1)，
所以
由x＝4y0得k2＝－m＋.
由Δ>0，k2≥0，得－<m≤.
又因为|AB|＝4，点F(0，1)到直线AB的距离为d＝，
所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1|＝.
记f(m)＝3m3－5m2＋m＋1.
令f′(m)＝9m2－10m＋1＝0，解得 m1＝，m2＝1.
可得f(m)在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．
又f＝>f.
所以，当m＝时，f(m)取到最大值，
此时k＝±.
所以，△ABP面积的最大值为.