2023版高考数学一轮复习核心素养测评五十八圆锥曲线与其他知识的交汇问题苏教版.doc

核心素养测评五十八 圆锥曲线与其他知识的交汇问题
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,抛物线的焦点为F,且,4,成等差数列,则k= (　　)
A.2或-1 B.-1
C.2 D.1±
【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2).
由 消去y,得k2x2-4x+4=0,
故Δ=16-16k2=64>0,
解得k>-1,且x1+x2=.
由=x1+=x1+2,=x2+=x2+2,且,4,成等差数列,
得x1+2+x2+2=8,得x1+x2=4,
所以=4,解得k=-1或k=2,
又k>-1,故k=2.
2.如图,F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,以坐标原点O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A,B两点,若△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为 (　　)
A. B.2 C.-1 D.+1
【解析】选D.连接AF1,依题意知:
=,2c==2,
所以2a=-=(-1),
e===+1.
3.(多选)过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,作AC,BD垂直抛物线的准线l于C,D,其中O为坐标原点,则下列结论正确的是 (　　)
A.+=-
B.存在λ∈R,使得=λ成立
C.·=0
D.准线l上任意一点M,都使得·>0
【解析】选ABC.由+==-,可得A正确;
设A(x1,y1),B(x2,y2),可得C,
D,又kOA==,kAD=,设直线AB的方程为x=my+.
代入抛物线的方程,可得y2-2pmy-p2=0,
可得y1y2=-p2,即有y1(y1-y2)=-y1y2=2px1+p2,
则kOA=kAD,即存在λ∈R,使得=λ成立,则B正确;
·=(-p,y1)·(-p,y2)=y1y2+p2=0,可得C正确;
由抛物线的定义可得|AB|=|AC|+|BD|,
可得以AB为直径的圆的半径与梯形ACDB的中位线长相等,即该圆与CD相切,设切点为M,即有AM⊥BM,则·=0,则D不正确.
4.已知双曲线C1:-y2=1,双曲线C2:-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若△OMF2的面积S=16,且双曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长是 (　　)
A.32 B.16 C.8 D.4
【解析】选B.双曲线C1:-y2=1的离心率为,设F2(c,0),双曲线C2一条渐近线方程为y=x,
则|F2M|==b,即|OM|==a,
由S=16得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,=,解得a=8,b=4,c=4,即双曲线的实轴长为16.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为20π,则椭圆C的标准方程为________. 
【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则椭圆C的面积为S=πab=20π,又e==,解得a2=25,b2=16.则椭圆C的标准方程为+=1.
答案:+=1
6.(2020·杭州模拟)椭圆+=1上任意两点P,Q,O为坐标原点,若PO⊥QO,则|OP|·|OQ|的最小值是________,此时|OP|=________. 
【解析】由题意可设点P(|OP|cos θ,|OP|sin θ),Q,
由P,Q在椭圆上,得:=+,①
=+,②
①+②得:+=+,
所以=+≥,
得|OP|·|OQ|≥
,
所以|OP|·|OQ|的最小值为.
答案:　
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),点P在C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若直线l:y=x+m与椭圆C相交于A,B两点,问y轴上是否存在点M,使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)由题意可得c=1,点P在C上,所以+=1,又a2=b2+c2=b2+1,
解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.
(2)假设y轴上存在点M,使△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形,
设A,B,线段AB的中点为N,由 ,消去y可得7x2+8mx+4m2-12=0,
Δ=64m2-28=48>0,解得m2<7,所以x1+x2=-,x1x2=,
所以x0==-,y0=x0+m=,所以N,依题意有AM⊥BM,MN⊥l,
由MN⊥l,可得×1=-1,可得t=-;
由AM⊥BM可得·=-1,
因为y1=x1+m,y2=x2+m,代入上式化简可得
2x1x2++(m-t)2=0,
则-+=0,
解得m=±,
当m=时,点M满足题意,
当m=-时,点M满足题意.
8.如图,已知椭圆C1:+=1(b>0)的左焦点F与抛物线C2:y2=-2px(p>0)的焦点重合,M是C1与C2在第二象限内的交点,抛物线的准线与x轴交于点E,且|ME|=.
(1)求椭圆C1及抛物线C2的方程.
(2)过E作直线l交椭圆C1于A,B两点,则在椭圆的长轴上是否存在点N,使得·为定值?若存在,求出点N的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由两曲线焦点重合,知=,
由椭圆的对称性,知E为椭圆的右焦点,连接MF,
由椭圆的定义知|MF|+|ME|=4,
则|MF|=4-=.
设M(xM,yM),过点M作准线的垂线,垂足为H,
由抛物线的定义知|MF|=|MH|=,
因而yM==,xM=-,
代入+=1中,得+=1,
与=联立,
得p=2,b2=3,所以椭圆的方程为+=1,
抛物线的方程为y2=-4x.
(2)由(1)知E(1,0),若直线l的斜率存在,
设直线方程为y=k(x-1),
由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
所以x1+x2=,x1·x2=.
假设点N存在,其坐标为(m,0),其中-2≤m≤2,
·=(x1-m,y1)·(x2-m,y2)=(x1-m)·(x2-m)+k(x1-1)·k(x2-1)
=(1+k2)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+m2+k2
=(1+k2)-(m+k2)+m2+k2
=.
若·为定值,则满足=,得m=,定值为-.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,
不妨设其与椭圆+=1的交点为
A1,,B1,-,又N,0,
则·=-,·-,-=-,
综上,在椭圆的长轴上存在点N,0,
使得·=-,为定值.
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