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两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

1．理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)
2．会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)

一、情境导入
利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？
二、合作探究
探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【类型一】 直接利用判定定理判定两个三角形相似
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AB、CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE.若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.

解析：首先利用勾股定理可求出AB的长，再由已知条件可求出DB，进而可得到DB∶AB的值，再计算出EB∶BC的值，继而可判定△ABC∽△DBE.
证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10，∴DB＝AD－AB＝15－10＝5，∴DB∶AB＝1∶2.又∵EB＝CE－BC＝9－6＝3，∴EB∶BC＝1∶2，∴EB∶BC＝DB∶AB，又∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DBE.
方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题
【类型二】 添加条件使三角形相似
如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为________时，△ADP和△ABC相似．

解析：当△ADP∽△ACB时，＝，∴＝，解得AP＝9.当△ADP∽△ABC时，＝，∴＝，解得AP＝4，∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．故答案为4或9.
方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题
【类型三】 利用三角形相似证明等积式
如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于F.求证：AC·CF＝BC·DF.

解析：先证明△ADC∽△CDB可得＝，再结合条件证明△FDC∽△FAD，可得＝，则可证得结论．
证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠DAC＋∠B＝∠B＋∠DCB＝90°，∴∠DAC＝∠DCB，且∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝.∵E为BC的中点，CD⊥AB，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE，∵∠EDC＋∠FDA＝∠ECD＋∠ACD，∴∠FCD＝∠FDA，又∠F＝∠F，∴△FDC∽△FAD，∴＝，∴＝，∴AC·CF＝BC·DF.
方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式．
【类型四】 利用相似三角形的判定进行计算
如图所示，BC⊥CD于点C，BE⊥DE于点E，BE与CD相交于点A，若AC＝3，BC＝4，AE＝2，求CD的长．

解析：因为AC＝3，所以只需求出AD即可求出CD.可证明△ABC与△ADE相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝＝＝5.∵BC⊥CD，BE⊥DE，∴∠C＝∠E，又∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，解得AD＝，∴CD＝AD＋AC＝＋3＝.
方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型五】 利用相似三角形的判定解决动点问题
如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，5AC－3AB＝0，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，经过多长时间△ABC和△PQC相似？

解析：由AC与AB的关系，设出AC＝3xcm，AB＝5xcm，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而得到AB与AC的长．然后设出动点运动的时间为ts，根据相应的速度分别表示出PC与CQ的长，由△ABC和△PQC相似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，从而得到所有满足题意的时间t的值．
解：由5AC－3AB＝0，得到5AC＝3AB，设AB为5xcm，则AC＝3xcm，在Rt△ABC中，由BC＝8cm，根据勾股定理得25x2＝9x2＋64，解得x＝2或x＝－2(舍去)，∴AB＝5x＝10cm，AC＝3x＝6cm.设经过t秒△ABC和△PQC相似，则有BP＝2tcm，PC＝(8－2t)cm，CQ＝tcm，分两种情况：①当△ABC∽△PQC时，有＝，即＝，解得t＝；②当△ABC∽△QPC时，有＝，即＝，解得t＝.综上可知，经过或秒△ABC和△PQC相似．
方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况△ABC∽△PQC与△ABC∽△QPC分别列出比例式来解决问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
三、板书设计
1．三角形相似的判定定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
2．应用判定定理解决简单的问题．

本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多煤体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态．采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程．在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想.27.3 位似
第1课时 位似图形的概念及画法

1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的相关知识；(重点)
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．(难点)

一、情境导入
生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．
观察图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？

二、合作探究
探究点：位似图形
【类型一】 判定是否是位似图形
下列3个图形中是位似图形的有(　　)

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：根据位似图形的定义可知两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行(或共线)，所以位似图形是第一个和第三个．故选C.
方法总结：判断两个图形是不是位似图形，首先要看它们是不是相似图形，再看它们对应顶点的连线是否交于一点．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题
【类型二】 确定位似中心
找出下列图形的位似中心．

解析：(1)连接对应点AE、BF，并延长的交点就是位似中心；(2)连接对应点AN、BM，并延长的交点就是位似中心；(3)连接AA′，BB′，它们的交点就是位似中心．
解：(1)连接对应点AE、BF，分别延长AE、BF，使AE、BF交于点O，点O就是位似中心；

(2)连接对应点AN、BM，延长AN、BM，使AN、BM的延长线交于点O，点O就是位似中心；
(3)连接AA′、BB′，AA′、BB′的交点就是位似中心O.
方法总结：确定位似图形的位似中心时，要找准对应顶点，再经过每组对应顶点作直线，交点即为位似中心．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第2题
【类型三】 画位似图形
按要求画位似图形：

(1)图①中，以O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍；
(2)图②中，以O为位似中心，把△ABC缩小为原来的.
解析：(1)连接OA、OB、OC并延长使AD＝OA，BE＝BO，CF＝CO，顺次连接D、E、F就得出图形；(2)连接OA、OB、OC，作射线CP，在CP上取点M、N、Q使MN＝NQ＝CQ，连接OM，作NF∥OM交OC于F，再依次作EF∥BC，DE∥AB，连接DF，就可以求出结论．
解：(1)如图①，画图步骤：①连接OA、OB、OC；②分别延长OA至D，OB至E，OC至F，使AD＝OA，BE＝BO，CF＝CO；③顺次连接D、E、F，∴△DEF是所求作的三角形；
(2)如图②，画图步骤：①连接OA、OB、OC，②作射线CP，在CP上取点M、N、Q使MN＝NQ＝CQ，③连接OM，④作NF∥OM交OC于F，⑤再依次作EF∥BC交OB于E，DE∥AB交OA于D，⑥连接DF，∴△DEF是所求作的三角形．

　　方法总结：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型四】 位似图形的实际应用
在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，点P为放映机的光源，△ABC是胶片上面的画面，△A′B′C′为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是2.5cm×2.5cm，放映的银幕规格是2m×2m，光源P与胶片的距离是20cm，则银幕应距离光源P多远时，放映的图象正好布满整个银幕？

解析：由题中条件可知△A′B′C′是△ABC的位似图形，所以其对应边成比例，进而即可求解．
解：图中△A′B′C′是△ABC的位似图形，设银幕距离光源P为xm时，放映的图象正好布满整个银幕，则位似比为＝，解得x＝16.即银幕距离光源P16m时，放映的图象正好布满整个银幕．
方法总结：在位似变换中，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于对应边的比，面积比等于相似比的平方．
【类型五】 利用位似的性质进行证明或计算
如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，

(1)图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；
(2)若AB＝2，CD＝3，求EF的长．
解析：(1)利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质得出答案；(2)利用比例的性质以及相似三角形的性质求出＝＝，求出EF即可．
解：(1)△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形．理由：∵AB∥CD∥EF，∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；
(2)∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB＝2，CD＝3，∴＝＝，∴＝＝，解得EF＝.
方法总结：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．位似图形的对应线段的比等于相似比．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
三、板书设计
位似图形的概念及画法
1．位似图形的概念；
2．位似图形的性质及画法．

在教学过程中，为了便于学生理解位似图形的特征，应注意让学生通过动手操作、猜想、试验等方式获得感性认识，然后通过归纳总结上升到理性认识，将形象与抽象有机结合，形成对位似图形的认识．教师应把学习的主动权充分放给学生，在每一环节及时归纳总结，使学生学有所收获.
　　六、词语点将（据意写词）。
　　1．看望；访问。 （ ）
　　2．互相商量解决彼此间相关的问题。 （ ）
　　3．竭力保持庄重。 （ ）
　　4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。 （ ）
　　5．弯弯曲曲地延伸的样子。 （ ）
　　七、对号入座（选词填空）。
　　 冷静 寂静 幽静 恬静 安静
　　１．蒙娜丽莎脸上流露出（ ）的微笑。
　　2．贝多芬在一条（ ）的小路上散步。
　　3．同学们（ ）地坐在教室里。
　　4．四周一片（ ），听不到一点声响。
　　5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（ ）。
　　八、句子工厂。
　　1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？（陈述句）
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　　2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文化宝库中一颗璀璨的明珠。（缩写句子）　___________________________________________________________________________
　　3．我在她面前只停留了短短的几分钟。她已经成了我灵魂的一部分。（用关联词连成一句话）　___________________________________________________________________________
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4．她的光辉照耀着每一个有幸看到她的人。
　　“把”字句：_________________________________________________________________
　　“被”字句：_________________________________________________________________
　　九、要点梳理（课文回放）。
　　作者用细腻的笔触、传神的语言介绍了《蒙娜丽莎》画像，具体介绍了__________，__________，特别详细描写了蒙娜丽莎的__________和__________，以及她__________、__________和__________；最后用精炼而饱含激情的语言告诉大家，蒙娜丽莎给人带来了心灵的震撼，留下了永不磨灭的印象。
　　综合能力日日新
　　十、理解感悟。
　　（一）
　　蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（ ）的嘴角，好像有话要跟你说。在那极富个性的嘴角和眼神里，悄然流露出恬静、淡雅的微笑。那微笑，有时让人觉得舒畅温柔，有时让人觉得略含哀伤，有时让人觉得十分亲切，有时又让人觉得有几分矜（ ）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是那样耐人寻味，难以捉摸。达·芬奇凭着他的天才想象为和他那神奇的画笔，使蒙娜丽莎转瞬即逝的面部表情，成了永恒的美的象征。