2022考前冲刺数学第四部分专题八立体几何.docx

6．m、n是两条不同直线，是三个不同平面，以下命题中正确的选项是 〔 〕
A．假设 B．假设
C．假设 D．假设
【答案】D
【解析】此题考查空间直线与直线,直线与平面的平行、垂直的判定,容易看出选项D正确.
9．一个几何体的三视图及局部数据如下列图，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，那么这个几何体的体积等于( )
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】由三视图知,该几何体是棱锥,容易求得答案.
如下列图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，
平面ABC，AB=2BC，AC=AA1=BC.
〔1〕证明：平面AB1C1；
〔2〕假设D是棱CC1的中点，在棱AB上是
否存在一点E，使DE//平面AB1C1假设存在，
请确定点E的位置；假设不存在，请说明理由.
【解析】证明：〔1〕，为直角三角形且
从而BCAC。又AA1平面ABC，BCCC1 2分
从而BC面ACC1A1，BCA1C，B1C1A1C 4分
，侧面ACC1A1为正方形，
又B1C1∩AC1=C1，面AB1C1. 6分
〔2〕存在点E，且E为AB的中点 8分
下面给出证明：
取BB1的中点F，连接DF，那么DF//B1C1。
AB的中点为E，连接EF，那么EF//AB1。
B1C1与AB1是相交直线，面DEF//面AB1C1。 10分
而面DEF，DE//面AB1C1 12分
5〔本小题共12分〕在如图的多面体中，⊥平面，,，，，，，是的中点．
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求证：；

【解析】(Ⅰ)证明：∵，
∴.
又∵,是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形,
∴. ……2分
∵平面，平面，
∴平面. …………………4分
(Ⅱ) 解法1
证明：∵平面，平面，
∴，
又，平面，
∴平面. ………………………5分
过作交于，那么平面.
∵平面， ∴. ………………………6分
∵，∴四边形平行四边形，
∵平面，平面，平面，∴，，
又,
∴两两垂直. ……………………5分
以点E为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系.
由得，〔0，0，2〕，〔2，0，0〕，
〔2，4，0〕，〔0，3，0〕，〔0，2，2〕，
〔2，2，0〕. …………………………6分
∴，，………7分
∴,
那么， …………………………11分
∴二面角的余弦值为…………………………12分
2如图，在矩形中，，，为的中点，现将△沿直线翻折成△，使平面⊥平面，为线段的中点.
〔Ⅰ〕求证：∥平面；
〔Ⅱ〕求直线与平面所成角的正切值.
【解析】
〔I〕证明：取的中点，连接, 那么∥,
在中，
，， 所以．………12分

所以，
故直线与平面所成角的正切值为．………………14分
4．设是两条不同的直线，是一个平面，那么以下命题正确的选项是 〔 〕
A．假设，那么B．假设，那么
C．假设，那么 D．假设，那么
【答案】B
【解析】当两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直这个平面，应选项B中的结论正确.
5．一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积是〔 〕
A．8 B． C． D．
【解析】=3.
4〔本小题总分值12分〕
如图，在三棱柱中，平面，
为的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值.
【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.
∴，，∴.
. (11分)
∴所求二面角的余弦值为. (12分)
(方法二)证明：如图三以的中点为原点建系，设.
设是平面的一个法向量，
那么.又，，
∴.令，∴. (3分)
∵，∴.
　　又平面，∴∥平面. (5分)
故矩形的面积 (10分)
故所求五面体体积 (12分)
6等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且．
〔1〕 求数列，的通项公式；
〔2〕假设求数列的前项和．
设数列的前项和为，
〔1〕
(2) ………10分
：
化简得： ………………………12分
5．直线，有下面四个命题：
〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕
其中正确的命题 〔 〕
A．〔1〕〔2〕 B．〔2〕〔4〕 C．〔1〕〔3〕 D．〔3〕〔4〕
【答案】C

确;同理可得(3)正确,(2)与(4)不正确,应选C.
6．〔此题总分值14分〕如图，在矩形中，，，为的中点，现将△沿直线翻折成△，使平面⊥平面，为线段的中点.
〔Ⅰ〕求证：∥平面；
〔Ⅱ〕求直线与平面所成角的正切值.
【解析】
〔I〕证明：取的中点，连接, 那么∥,
且=,又∥,且=，从而有
EB，所以四边形为平行四边形，故有∥， ………………4分
所以，
故直线与平面所成角的正切值为．………………14分
4．设是两条不同的直线，是一个平面，那么以下命题正确的选项是 〔 〕
A．假设，那么B．假设，那么
C．假设，那么 D．假设，那么
【答案】B
【解析】当两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直这个平面，应选项B中的结论正确.
5．一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积是〔 〕
A．8 B． C． D．
【答案】C
几何体是正方体截去一个三棱台，
.
6．m、n是两条不同直线，是三个不同平面，以下命题中正确的选项是 〔 〕
A．假设 B．假设
C．假设 D．假设
【答案】D
【解析】此题考查空间直线与直线,直线与平面的平行、垂直的判定,容易看出选项D正确.
2
如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，．
〔Ⅰ〕求证：BE//平面ADF；
〔Ⅱ〕假设矩形ABCD的一个边AB =，EF =，那么另一边BC的长为何值时，三棱锥F-BDE的体积为
2
解〔Ⅰ〕过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM．
因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形．可得EM = CD且EM //CD，于是四边形示平面，那么以下命题正确的选项是〔 〕
A.假设 ，那么 B. 假设 ，那么
C. 假设 ，那么 D.假设，那么
【答案】D
4．(山东实验中学2022届高三第一次诊断性考试理)如图是某一几何体的三视图，那么这个几何体的体积为〔〕(A). 4 (B). 8 (C). 16 (D). 20
【答案】C
【解析】由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥，又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为2，棱锥的高为4。由俯视图我们易判断四棱锥的长为4代入棱锥的体积公式，我们易得V=×6×2×4=16.
7．(山东省潍坊市2022年3月高三一轮模拟理科)矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，那么三棱锥D—ABC的外接球的外表积等于( )
A．4π B．8π C．16πD．24π
【答案】C
11．(河北省石家庄市2022届高三教学质量检测一理科)三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，那么该三棱锥的外接球的半径为
A．3 B．6 C．36 D．9
【答案】A
【解析】以为棱构造长方体，那么该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，那么
12.〔安徽省皖南八校2022届高三第二次联考理科〕某几何体的三视
1
1
正〔主〕视图
1
1

侧〔左〕视图
俯视图
图如右图所示，其中，正〔主〕视图，侧〔左〕视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为〔 〕
A、 B、
C、 D、
【答案】C
【解析】由三视图可得该几何体的上局部是一个三棱锥，
下局部是半球，所以根据三视图中的数据可得
16．(2022届江苏省五校联考)、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，有以下4个命题：
① 假设，那么； ② 假设，那么；
③ 假设，那么； ④ 假设，．
其中真命题的序号是．〔填上你认为正确的所有命题的序号〕
【答案】①③④
【解析】此题考查空间线线与线面的位置关系,不难.
1. (山东省威海市2022年3月高三第一次模拟文科〕设为三条不同的直线，为两个不同的平面，以下命题中正确的选项是〔 〕
A.假设那么
B.假设那么
C.假设那么
D. 假设那么
【答案】C
【解析】此题考查空间线线及线面的位置关系,易知只有选项C正确.
2. (山东省青岛市2022届高三上学期期末检测)、、为三条不重合的直线，下面有三个结论：①假设那么∥；
②假设那么；③假设∥那么. 其中正确的个数为( )
A．个 B．个 C． 个 D． 个　　　
定定理可知α∥β，反之未必成立，答案选A.
4.(2022年东北三省四市教研协作体高三第二次调研测试文科)如下列图是一个几何体的三视图，那么该几何体的体积为( )
A.B. 1
C.D.
【答案】A　
【解析】由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为，高为1，体积为.应选A.
6. (山东省济南市2022年3月高三高考模拟)假设一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如下列图，那么它的体积是 ( )
A. 27+12π B. C. 27+3π D. 54+3π
【答案】C
【解析】该几何体是一个下面为正六棱柱，上面是一个圆柱的组合体，正六棱柱的体积为，圆柱的体积为，所以总体积为，选C.
7．(山东省济南市2022年2月高三定时练习文科)一个简单几何体的主视图，左视图如下列图，那么其俯视图不可能为①长方形；②直角三角形；
③圆；④椭圆．其中正确的选项是( )
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】C
所以，左视图是D.
13．〔辽宁省大连市2022年4月高三双基测试文科〕如下列图是一个几何体的三视图(单位：cm)，那么这个几何体的外表积cm2.
【答案】
【解析】由三视图可知,几何体为一个正四棱锥,其底面正方形边长为4,几何体的斜高为，所以外表积为.
14．(2022年东北三校第一次模拟)如右图所示一个几何体的三视图，那么侧视图的面积为__________。
【答案】
【解析】由三视图可知,几何体为一个正方体与一个三棱锥对接而成,
所以其侧视图中直角三角形的两直角边分别为1和,故面积为
.
15. (山东省临沂市2022年3月高三教学质量检测)一个三棱柱的正〔主〕视图和侧〔左〕视图分别是矩形和正三角形，如下列图，那么这个三棱柱的体积为.
【答案】
【解析】该三棱柱水平放置，底面积
为高，所以
16.(2022年东北三省四市教研协作体高三第二次调研测试文科)如下列图，正方体的棱长为6，那么以正方体的中心为顶点，以平面截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为__________.

【解析】为正方体外接球的球心，也是正方体的中心，
到平面的距离是体对角线的，即为，
又球的半径是正方体体对角线长的一半，即为，
由勾股定理可知，截面圆的半径为，
圆锥底面面积为；
圆锥的母线即为球的半径，
圆锥的侧面积为；
因此圆锥的外表积为.
17．〔东北师大附中、辽宁省实验中学、哈师大附中2022年高三第二次模拟文科〕一个几何体的三视图如右图所示，那么该几何体的外表积为____.
【答案】
【解析】由三视图可知,几何体为球的一局部,所以外表积为.
19．如图,在三棱柱中,侧面底面ABC,,,且为AC中点.
(I)证明:平面ABC;
(II)求直线与平面所成角的正弦值;
(III)在上是否存在一点E,使得平面,假设不存在,说明理由;假设存在,确
定点E的位置.
(Ⅱ)如图,以O为原点,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
由题意可知,又
所以得:
即,得
所以得
令平面,得 ,
即得
即存在这样的点E,E为的中点
19．如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．
(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；
(2)是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由．
19.
20．四棱锥的底面为直角梯形,底面,且是的中点.
(1)判断在上是否存在一点,使面面,并说明理由;
(2)求面与面所成的二面角的大小;
(3)求点到面的距离.
在等腰三角形中,
,又
故所求的二面角的大小为.
(3)
故点到面的距离为.
20．如图,在直四棱柱中,底面为等腰梯形，
20. 解法一:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中,取A1B1的中点F1,
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
F1
O
P
连接A1D,C1F1,CF1,因为AB=4, CD=2,且AB//CD,
所以CDA1F1,A1F1CD为平行四边形,所以CF1//A1D,
又因为E、E分别是棱AD、AA的中点,所以EE1//A1D,
所以CF1//EE1,又因为平面FCC,平面FCC,
所以直线EE//平面FCC.
(2)因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,那么OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,那么∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴,
在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.
解法二:(1)因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,
所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为
等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,
连接DM,那么DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,
,那么D(0,0,0),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0),
C1(0,2,2),E(,,0),E1(,-1,1),所以,,设平面CC1F的法向量为那么所以取,那么,所以,所以直线EE//平面FCC.
(2),设平面BFC1的法向量为,那么所以