2023版高考数学一轮复习第6章数列第3节等比数列及其前n项和课时跟踪检测文新人教A版.doc

第三节　等比数列及其前n项和
A级·根底过关|固根基|
1.{an}为等比数列且满足a6－a2＝30，a3－a1＝3，那么数列{an}的前5项和S5＝(　　)
A．15 B．31
C．40 D．121
解析：选B　设等比数列{an}的公比为q，因为{an}为等比数列且满足a6－a2＝30，a3－a1＝3，所以可得所以S5＝＝31，所以数列{an}的前5项和S5＝31.
2．在等比数列{an}中，设其前n项和为Sn，S3＝8，S6＝7，那么a7＋a8＋a9等于(　　)
A. B．－
C. D.
解析：选A　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝.
3．(一题多解)(2023届福建厦门模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，假设Sn＝2n＋1＋λ，那么λ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选A　解法一：当n＝1时，a1＝S1＝4＋λ.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时＝＝2.
因为{an}是等比数列，所以＝2，
即＝2，解得λ＝－2.应选A.
解法二：依题意，a1＝S1＝4＋λ，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8，
因为{an}是等比数列，所以a＝a1·a3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.应选A.
4．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，那么m的值为(　　)
A．4 B．7
C．10 D．12
解析：选A　因为{an}是等比数列，所以am－1am＋1＝a.又am－1am＋1－2am＝0，那么a－2am＝0，所以am＝2或am＝0(舍去)．由等比数列的性质可知前2m－1项的积T2m－1＝a，即22m－1＝128，故m＝4.应选A.
5．在正项等比数列{an}中，a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，…，an－1anan＋1＝324，那么n等于(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：选C　因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比数列．
不妨令b1＝a1a2a3，b2＝a4a5a6，那么公比q＝＝＝3.
所以bm＝4×3m－1.
令bm＝324，即4×3m－1＝324，
解得m＝5，
所以b5＝324，即a13a14a15＝324.
所以n＝14.
6．(2023届济南模拟)Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，那么a8＝________．
解析：因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q≠1，所以＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2·＝4，解得a2＝8，故a8＝a2·q6＝a2·(q3)2＝8×＝2.
答案：2
7．记Sn为数列{an}的前n项和．假设Sn＝2an＋1，那么an＝________，S6＝________．
解析：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.
答案：－2n－1　－63
8．在等比数列{an}中a2＝1，那么其前3项的和S3的取值范围是________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，
那么S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋.
当公比q>0时，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3，当且仅当q＝1时，等号成立；
当公比q<0时，S3＝1－≤1－2＝－1，当且仅当q＝－1时，等号成立．
所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)
9．(2023届昆明市诊断测试)数列{an}是等比数列，公比q<1，前n项和为Sn，假设a2＝2，S3＝7.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设m∈Z，假设Sn<m恒成立，求m的最小值．
解：(1)由a2＝2，S3＝7，得
解得或(舍去)．
所以an＝4·＝.
(2)由(1)可知，
Sn＝＝＝8<8.
又Sn<m恒成立，m∈Z，所以m的最小值为8.
10．(2023届南昌市第一次模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝2a4－1，S3＝2a3－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)假设数列{bn}满足bn＝Sn(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由S4－S3＝a4，得2a4－2a3＝a4，所以＝2，所以q＝2.
又因为S3＝2a3－1，
所以a1＋2a1＋4a1＝8a1－1，
所以a1＝1，所以an＝2n－1.
(2)由(1)知a1＝1，q＝2，那么Sn＝＝2n－1，
所以bn＝2n－1，
那么Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2＋22＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－2－n.
B级·素养提升|练能力|
11.(2023届安徽池州模拟)在?增删算法统宗?中有这样一那么故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．〞意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．那么以下说法错误的选项是(　　)
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第三天走的路程占全程的
D．此人后三天共走了四十二里路
解析：选C　记每天走的路程里数为an(n＝1，2，3，…，6)，
由题意知{an}是公比为的等比数列，
由S6＝378，得＝378，
解得a1＝192，所以a2＝192×＝96，
此人第一天走的路程比后五天走的路程多192－(378－192)＝6(里)，
a3＝192×＝48，>，
前3天走的路程为192＋96＋48＝336(里)，
那么后3天走的路程为378－336＝42(里)，应选C.
12．(2023届长春市高三质量监测)数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋2n＋1，设bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
解：(1)证明：当n≥2时，bn－bn－1＝－＝＝1，
又b1＝1，所以{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，bn＝n，所以＝－，
所以Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
13．(2023届湖北省五校联考)数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn，{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.
解：(1)因为数列{an}是等差数列，a2＝6，
所以S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，所以b1＝1，
因为b2＝2，数列{bn}是等比数列，所以公比q＝＝2，所以bn＝2n－1.
所以b3＝4，因为a1b3＝12，所以a1＝3，
因为a2＝6，数列{an}是等差数列，所以公差d＝a2－a1＝3，
所以an＝3n.
(2)由(1)得，令Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，
所以Cn＋1＝(－1)n＋12n，
所以＝－2，又C1＝－1，
所以数列{bncos(anπ)}是以－1为首项，－2为公比的等比数列，
所以Tn＝＝－[1－(－2)n]．
14．(2023届湖北黄冈调研)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*)．
(1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，假设数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn<2.
解：(1)证明：由题设得＝·，又＝2，
所以数列是首项为2，公比为的等比数列，
所以＝2×＝22－n，那么an＝n·22－n＝.
(2)证明：bn＝＝＝，
因为对任意n∈N*，2n－1≥2n－1，
所以bn≤.
所以Tn≤1＋＋＋＋…＋＝2<2.