高优指导2021版高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法初步与复数54综合法分析法反证法考点规范练文北师大版.doc

考点规范练54　综合法、分析法、反证法
　考点规范练B册第41页　 
基础巩固组
1.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明(　　)

A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-≤0
C.-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0
答案:D
解析:在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)>0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.
2.若a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是(　　)
A.lg(1+a2)>0 B.a2+b2≥2(a-b-1)
C.a2+3ab>2b2 D.
答案:B
解析:在B中,∵a2+b2-2(a-b-1)
=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
∴a2+b2≥2(a-b-1)恒成立.
3.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+(　　)
A.都大于2 B.都小于2
C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2
答案:D
解析:∵a>0,b>0,c>0,
∴≥6,
当且仅当a=b=c=1时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.
4.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值(　　)
A.恒为负值 B.恒等于零
C.恒为正值 D.无法确定正负
答案:A
解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0,故选A.
5.设a,b是两个实数,给出下列条件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是(　　)
A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤〚导学号32470847〛
答案:C
解析:对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1.
反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,
因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1.
①②④⑤都不能推出“a,b中至少有一个大于1”.
6.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到角A为钝角的结论,三边a,b,c应满足　　　　　　　　. 
答案:a2>b2+c2
解析:由余弦定理cos A=<0,
则b2+c2-a2<0,即a2>b2+c2.
7.与2的大小关系为　　　　　　　　. 
答案:>2
解析:要比较与2的大小,
只需比较()2与(2)2的大小,
只需比较6+7+2与8+5+4的大小,
只需比较与2的大小,
只需比较42与40的大小,
∵42>40,∴>2.
8.(2015陕西咸阳模拟)设a,b,c>0,证明:≥a+b+c.
证明:因为a,b,c>0,根据基本不等式,有+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
三式相加,+a+b+c≥2(a+b+c),
即≥a+b+c.
9.若a,b,c是不全相等的正数,求证:
lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.
证明:∵a,b,c∈(0,+∞),
∴>0,>0,>0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立.
∴>abc成立.
上式两边同时取常用对数,
得lg>lg abc,
∴lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.
能力提升组
10.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则(　　)
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形
答案:D
解析:由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,
则△A1B1C1是锐角三角形,且△A2B2C2不可能是直角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形.
由
得
则A2+B2+C2=,
这与三角形内角和为180°相矛盾.
因此假设不成立,
故△A2B2C2是钝角三角形.
11.已知a,b,μ∈(0,+∞),且=1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是　　　　　. 
答案:(0,16]
解析:∵a,b∈(0,+∞),且=1,
∴a+b=(a+b)=10+≥10+2=16(当且仅当a=4,b=12时等号成立).
∴a+b的最小值为16.
∴要使a+b≥μ恒成立,只需16≥μ.
∴0<μ≤16.
12.已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-x2+x3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像在交点(0,0)处有公共切线.
(1)求a,b的值;
(2)证明:f(x)≤g(x).
解:(1)f'(x)=,g'(x)=b-x+x2,
由题意得解得a=0,b=1.
(2)证明:令h(x)=f(x)-g(x)
=ln(x+1)-x3+x2-x(x>-1).
h'(x)=-x2+x-1=.
h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数.
h(x)max=h(0)=0,即h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤g(x).
13.已知A,B,C是椭圆W:+y2=1上的三个点,O是坐标原点.
(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
解:(1)椭圆W:+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0).
因为四边形OABC为菱形,
所以AC与OB相互垂直平分.
所以可设A(1,m),代入椭圆方程得+m2=1,即m=±.
所以菱形OABC的面积是
|OB|·|AC|=×2×2|m|=.
(2)假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0).
由消去y并整理得(1+4k2)·x2+8kmx+4m2-4=0.
设A(x1,y1),C(x2,y2),
则=-=k·+m=.
所以AC的中点为
M.
因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为-.
因为k·≠-1,所以AC与OB不垂直.
所以OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.

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