2022年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷).docx

2022年上海市秋季高考理科数学
一、填空题
1．计算：
2．设，是纯虚数，其中i是虚数单位，那么
3．假设，那么
4．△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，假设，那么角C的大小是_______________〔结果用反三角函数值表示〕
5．设常数，假设的二项展开式中项的系数为，那么
6．方程的实数解为________
7．在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为__________

9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且，假设AB=4，，那么的两个焦点之间的距离为________
10．设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，那么方差
11．假设，那么
12．设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，假设对一切成立，那么的取值范围为________
13．在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影局部．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________
14．对区间I上有定义的函数，记，定义域为的函数有反函数，且，假设方程有解，那么
二、选择题
15．设常数，集合，假设，那么的取值范围为〔 〕
(A)(B)(C)(D)
16．钱大姐常说“廉价没好货〞，她这句话的意思是：“不廉价〞是“好货〞的〔〕
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
17．在数列中，，假设一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，〔〕那么该矩阵元素能取到的不同数值的个数为〔〕
(A)18 (B)28 (C)48 (D)63
18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.假设分别为的最小值、最大值，其中,,那么满足〔 〕.
(A)(B)(C)(D)
三、解答题
19.〔此题总分值12分〕如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.
20．〔6分+8分〕甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品〔生产条件要求〕，每小时可获得利润是元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度并求最大利润.
21．〔6分+8分〕函数，其中常数；
〔1〕假设在上单调递增，求的取值范围；
〔2〕令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间〔且〕满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．
22．〔3分+5分+8分〕如图，曲线，曲线，P是平面上一点，假设存在过点P的直线与都有公共点，那么称P为“C1—C2型点〞．
(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点〞时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程〔不要求验证〕；
(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“C1—C2型点〞；
(3)求证：圆内的点都不是“C1—C2型点〞．
23．〔3分+6分+9分〕给定常数，定义函数，数列满足.
〔1〕假设，求及；〔2〕求证：对任意，；
〔3〕是否存在，使得成等差数列假设存在，求出所有这样的，假设不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题
1．．
2．．
3．．
4．
5．
6．．
7．．
8．．
9．．
10．．
11．．
12．．
13．．
14．．
15．B．
16．B．
17．A．
18．D．
19．因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故，
故ABC1D1为平行四边形，故，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；
直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为
考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得
而中，，故
所以，，即直线BC1到平面D1AC的距离为．
20．(1)根据题意，
又，可解得
(2)设利润为元，那么
故时，元．
21．(1)因为，根据题意有
(2)，
或，
即的零点相离间隔依次为和，
故假设在上至少含有30个零点，那么的最小值为．
22．：〔1〕C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C1-C2型点〞，且直线可以为；
〔2〕直线与C2有交点，那么
，假设方程组有解，那么必须；
直线与C2有交点，那么
，假设方程组有解，那么必须
故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点〞。
〔3〕显然过圆内一点的直线假设与曲线C1有交点，那么斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，那么
直线与圆内部有交点，故
化简得，。。。。。。。。。。。。①
假设直线与曲线C1有交点，那么
化简得，。。。。。②
由①②得，
但此时，因为，即①式不成立；
当时，①式也不成立
综上，直线假设与圆内有交点，那么不可能同时与曲线C1和C2有交点，
即圆内的点都不是“C1-C2型点〞．
23．：〔1〕因为，，故，
〔2〕要证明原命题，只需证明对任意都成立，
即只需证明
假设，显然有成立；
假设，那么显然成立
综上，恒成立，即对任意的，
〔3〕由〔2〕知，假设为等差数列，那么公差，故n无限增大时，总有
此时，
即
故，
即，
当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意；
假设，那么，
此时，也满足题意；
综上，满足题意的的取值范围是．