2022年广西自治区南宁市中考数学试题(含答案).docx

2022年南宁市初中毕业升学数学考试试卷
本试卷分第一卷和第二卷，总分值120分，考试时间120分钟。
第一卷〔选择题，共36分〕
一、选择题〔本大题共12小题，每题3分，共36分〕
1. 如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降3m时水位变化记作 ( )
(A)-3m (B)3 m (C)6 m (D) -6 m
答案：A　由正数负数的概念可得。
考点：正数和负数〔初一上学期-有理数〕。
2.以下列图形中，是轴对称图形的是 ( )

〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
答案：D　D有4条对称轴，也是中心对称图形。
考点：轴对称图形〔初二上学期-轴对称图形〕。
3. 南宁东高铁火车站位于南宁市青秀区凤岭北路，火车站总建筑面积约为267000平方米，其中数据267000用科学记数法表示为 ( )
〔A〕26.7×10〔B〕2.67×10〔C〕2.67×10〔D〕0.267×10
答案：C　由科学记数法的表示法可得。
考点：科学计数法〔初一上学期-有理数〕
4.要使二次根式在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是( )
〔A〕＞ 〔B〕≥ 〔C〕＞ 〔D〕≥
答案：D 　由x＋2≥0，可得。
考点：二次根式的双重非负性和不等式〔初二上-二次根式，初一下-一元一次不等式〕
5.以下运算正确的选项是( )
〔A〕·= 〔B〕= 〔C〕÷= 〔D〕6-4=2
答案：B　
考点：整式的加减乘除〔初一上-整式的加减，初二上-整式的乘除和因式分解〕

〔A〕40cm 〔B〕60cm 〔C〕80cm 〔D〕100cm
答案：A
考点：垂径定理、勾股定理〔初三上-圆，初二下-勾股定理〕
【海壁分析】关键是过圆心O作半径垂直弦AB，并连结OA形成直角三角形
，可得x＝40
7.数据1，2，4，0，5，3，5的中位数和众数分别是( )
〔A〕3和2 〔B〕3和3 〔C〕0和5 〔D〕3和5
答案：D
考点：中位数和众数〔初一上-统计〕
8.如图2所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是 ( )
图2
〔A〕正三角形 〔B〕正方形 〔C〕正五边形 〔D〕正六边形
答案：A
考点：轴对称图形
【海壁分析】这道题非常新颖，让人眼前一亮。其实，在考场里面拿张草稿纸试一试，是最简单的方法。这个题目告诉我们，实践出真知。数学不仅仅需要动脑，也很需要动手。海壁教育向出题人致敬！
9.“黄金1号〞玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购置2千克以上的种子，超过2千克局部的种子的价格打6折，设购置种子数量为千克，付款金额为元，那么与的函数关系的图像大致是 ( )
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
答案：B
考点：一次函数：函数图像与分段函数〔初二下-一次函数〕
10.如图3，二次函数 =，当<<时,随的增大
而增大，那么实数a的取值范围是 ( )
〔A〕> 〔B〕<≤
〔C〕>0 〔D〕<<
答案：B
考点：二次函数：对称轴和增减性〔初三下-二次函数〕
11.如图4，在ABCD 中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF : BC=1 : 2，连接DF，EC.假设AB=5，AD=8，sinB=，那么DF的长等于 ( )
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
答案：C
考点：平行四边形的性质，勾股定理，三角函数〔初二下-四边形，勾股定理，初三下-三角函数〕
【海壁分析】关键是过点D作△DCF的高，形成直角三角形。再通过平行四边形的性质、勾股定理和三角函数求解。这道题稍有综合性，但不算难。
12.点A在双曲线上，点B在直线上，且A，B两点关于轴对称，设点A的坐标为〔，〕，那么+的值是( )
〔A〕-10 〔B〕-8 〔C〕6 〔D〕4
答案：A
考点：对称点，反比例函数和一次函数的性质，配方法〔初二上-对称，初二下-一次函数和反比例函数，初二上-整式的乘除和因式分解〕
【海壁分析】此题相较以往的南宁中考压轴题，并不算难。解题的关键在于将A、B点的坐标通过m和n表示出来，代入各自的解析式中，再得到m和n的关系式，然后，对+进行变形以配合刚刚得到的关系式。变形的时候运用到了非常常用的配方的技巧。
解答：∵A点的作标为〔，)，A，B两点关于y轴对称。∴点B 的坐标为(-，)
∵点A在双曲线上 ∴=∴=
∵点B在直线上 ∴=--4 ∴+=-4

二、填空题〔本大题共6小题，每题3分，共18分〕
13.比较大小： 〔填“>〞“<〞或“=〞〕.
答案：<
考点：有理数大小的比较〔初一上-有理数〕
14.如图5，直线∥，∠1=120°，那么∠的度数是°.
答案：60°
考点：平行线的性质；邻补角〔初一下-平行于相交〕
15.因式分解：=.
答案：
考点：因式分解〔初二上-整式的乘除和因式分解〕
16.第45届世界体操锦标赛将于2022年10月3日至12日在南宁市隆重举行，届时某校将从小记者团内负责体育赛事报道的3名同学〔2男1女〕中任选2名前往采访，那么选出的2名同学恰好是一男一女的概率是.
答案：
考点：概率〔初三上-概率〕
【海壁分析】男男，女男〔一〕，女男〔二〕，三选二，so easy！
17.如图6，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°
的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°
的方向，那么海岛C到航线AB的距离CD等于海里.
答案：
解答：BD设为，因为C位于北偏东30°，所以∠BCD＝30°
在RT△BCD中，BD＝，CD＝，
又∵∠CAD＝30°，在RT△ADC中，AB＝20，AD＝20＋，
又∵△ADC≌△CDB，所以，
即：＝，求出＝10，故CD＝。
考点：三角函数和相似；

18. 如图7，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=，以斜边AB上的点
O为圆心的圆分别与AC，BC相切与点E，F， 与AB 分别交于点
G，H，且 EH 的延长线和 CB 的延长线交于点D，那么 CD 的长
为.
答案：
解答：连结OE，OF。∵AC、BC与圆O相切与点E，F，∴∠OEA=90°，∠OFC=90°
又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB =90°，∠CBA=∠CAB=45°，AB=
∵∠CBA=∠CAB=45°，且∠OEA=∠OFC=90°，OE=OF
∴△AOE和△BOF都是等腰直角三角形，且△AOE≌△BOF。∴AE=OE，AO=BO
∵OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠ACB =90°∴四边形OEFC是正方形。∴OE=EC=AE=
∵OE=OF，∴OA=OB=AB=。OH=，BH=
∵∠ACB=∠OEA =90°。∴OE∥DC，∴∠OED=∠EDC
∵OE=OH，∠OHE=∠OED=∠DHB=∠EDC，∴BD=BH=
∴CD=BC+BH=
考点：等腰直角三角形，圆与直线相切，半径相等，三角形相似〔初二上-对称，初三上-圆，初三下-相似〕
【海壁分析】原题可转化为求DB的长度。DB所在的△BDH〔BD=BH〕〔或证明△OEH∽△BDH亦可〕是解题的突破口。所以，辅助线OE成为解题的入口。2022年，南宁中考的填空压轴题是等边三角形与内切圆，2022年，又出此题。是否意味着“圆与直角三角形〞已经取代“找规律〞，成为南宁中考填空压轴首选
三、〔本大题共2小题，每题总分值6分，共12分〕
19. 计算：
原式＝1－4×+3+=4
考点：负数的乘方；特殊角的三角函数值；绝对值；实数〔初一上-有理数，初二上-二次根式，初三下-三角函数〕
20. 解方程：
答案：去分母得：
　化简得：2＝－2，求得＝－１
　经检验：＝－１是原方程的解
∴ 原方程的解是X=－１
考点：分式方程〔初二下-分式〕
【海壁分析】以前较常考的是分式的化简。
四、〔本大题共2小题，每题总分值8分，共16分〕
21. 如图8，△ABC三个顶点的坐标分别为A〔1，1〕，
B〔4，2〕，C〔3，4〕.
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到
的△ABC；
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC；
(3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标.
答案：〔1〕△A1B1C1如下列图；　　 〔2〕△A2B2C2如下列图；
〔3〕△PAB如下列图，点P的坐标为：〔2，0〕
考点：平面直角坐标系，图形的变化〔平移、对称〕〔初一下-平面直角坐标系，初二上-对称〕
【海壁分析】要使△PAB的周长最小，因为AB的长是固定的，一般转化为求“两条直线之和最小值〞。这是海壁总结的三种最常见最值问题其中之一。主要方法是作线段某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与线段另一点。
22.考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最正确状态迎接考试. 某校对该校九年级的局部同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式〞的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类，学校收集整理数据后，绘制了图和图两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答以下问题：
(1) 这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生
(2) 请补全条形统计图；
(3) 请计算扇形统计图中“享受美食〞所对应扇形的圆心角的度数；
(4) 根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐〞的减压方式的人数.

答案 (1)8÷16%= 50〔名〕
(2) 体育活动人数：50-8-10-12-5=15〔名〕〔补全条形统计图如下列图〕
(3) 360°×〔10÷50〕=72°
(4) 500×〔12÷50〕=120〔名〕
答：500名学生中估计采用“听音乐〞的减压方式的学生人数为120名
考点：条形统计图，扇形统计图；抽样统计〔初一下-统计〕
【海壁分析】统计是南宁市中考数学的必考点。2022年统计里还包括概率的内容。
五、〔本大题总分值8分〕
23.如图10，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G.
(1) 求证：△ADE≌△CFE；
(2) 假设GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长.
图10
答案：(1)∵AB∥FC，∴∠ADE=∠CFE
又∵∠AED=∠CEF，DE=FE
∴△ADE≌△CFE〔ASA〕
(2)∵ △ADE≌△CFE，∴AD=CF
∵AB∥FC，∴∠GBD＝∠GCF，∠GDB＝∠GFC
∴△ GBD∽△GCF〔AA〕
∴
又因为GB＝2，BC＝4，BD＝1，代入得：CF＝3 = AD
∴AB＝AD+BD = 3+1 = 4
考点：平行线，三角形全等，相似〔初一下-相交与平行，初二上-全等三角形，初三下-相似〕
【海壁分析】简单的几何证明题每年都有，一般会以四边形为根底，利用三角形全等和相似的知识证明和计算。第一小题一般为证明题，第二小题一般为计算题。这类题相对简单，必须拿分。
六、〔本大题总分值10分〕
24.“保护好环境，拒绝冒黑烟〞.某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟〞较严重的公交车，方案购置A型和B型两种环保节能公交车共10辆. 假设购置A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；假设购置A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元.
(1) 求购置A型和B型公交车每辆各需多少万元
(2) 预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次. 假设该公司购置A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于680万人次，那么该公司有哪几种购车方案哪种购车方案的总费用最少最少总费用是多少
答案：〔1〕设购置每辆A型公交车万元，购置每辆B型公交车每辆万元，依题意列方程得，
，解得
〔2〕设购置辆A型公交车，那么购置〔10-〕辆B型公交车，依题意列不等式组得，
解得
有三种方案〔一〕购置A型公交车6辆，B型公交车4辆

〔三〕购置A型公交车8辆，B型公交车2辆
因A型公交车较廉价，故购置A型车数量最多时，总费用最少，即第三种购车方案
最少费用为：8100+1502=1100〔万元〕
答：〔1〕购置A型和B型公交车每辆各需100万元、150万元
〔2〕该公司有3种购车方案，第3种购车方案的总费用最少，最少总费用是1100万元。
考点：二元一次方程组和一元一次不等式组。〔初一下-二元一次方程组，初一下-一元一次不等式组〕
【海壁分析】南宁中考数学每年都会有一道与实际结合的应用题，相较2022年〔二元一次方程组和不等式〕，2022年〔反比例函数和不等式〕，2022年〔反比例函数和分式方程〕，2022年〔含图像的一次函数及不等式〕。今年的题目更加简单。海壁老师拿给备战期考的初一学生做，都能轻易做出来。
七、〔本大题总分值10分〕
25. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC.
(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；

(2) 求证：∠ACF=90°；
(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图. 假设EC=4，∠CEF=15°，求 AE 的长.
答案：〔1〕BE=FH。理由如下：
∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90，
∵FHBC ∴∠FHE=90
又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF=90° 且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠HEF=∠BAE∴∠AEB=∠EFH又∵AE=EF
∴ △ABE≌△EHF〔SAS〕
∴BE=FH
(2)∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE=CH
∴CH=FH
∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°
∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°
∴∠ACF=∠FCM+∠ACD =90°
〔3〕∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上。设该中点为O。连结EO，得∠AOE=90°
过E作EN⊥AC于点N
RT△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=
RT△ENA中，EN =
又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°〔等弧对等角〕∴∠EAC=30°
∴AE=
RT△AFE中，AE== EF，∴AF=8
AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°

AE=2π·4·〔90°÷360°〕=2π
考点：正方形；等腰直角三角形；三角形全等；三角形的外接圆；等弧对等角，三角函数；弧长的计算。〔初二上-全等三角形，轴对称，初二下-四边形，勾股定理；初三上-圆；初三下-三角函数〕
【海壁分析】这道题前两小问考到了一个非常常见的几何模型“倒挂的直角〞〔在2022年压轴题中也出现过〕，在海壁的课堂中，给参加中考的学生讲过不下5次，这个模型经常用于全等和相似的证明。在这里，用到了三角形全等中。
第三小问有一定的难度和综合性，关键是找出弧AE所对应的圆的半径和圆心角。结合第一、二小题的结论〔在难题中，第一二小题的结论或次生结论往往是第三小题最重要的条件〕，所对应的圆是等腰直角△AEF的外接圆。圆心角不难找出，关键就是如何让EC=4与圆的半径结合起来，在这里，我们做了EN这条辅助线。〔海壁教育认为，几何的难点无外乎两点：1、做辅助线，2、设x列方程〕
八、〔本大题总分值10分〕
26.在平面直角坐标系中, 抛物线+与直线交于A,B两点，点A在点B的左侧.
(1) 如图，当时，直接写出A，B两点的坐标；
(2) 在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
(3) 如图，抛物线+与轴交于C，D两点〔点C在点D的左侧〕.在直线上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°假设存在，请求出此时的值；假设不存在，请说明理由.
答案：〔1〕A(-1,0) ，B(2,3)
【解答，无需写】当k=1时，列，解可得
〔2〕平移直线AB得到直线L，当L与抛物线只有一个交点时，△ABP面积最大【如图12-1〔1〕】
设直线L解析式为：，
根据，得
判别式△，解得，

∴P〔,〕
易求，AB交轴于M〔0，1〕，直线L交轴于G〔0，〕
过M作MN⊥直线L于N，∵OM=1，OA=1，∴∠AMO=45°
∵∠AMN=90，∴∠NMO=45°
在RT△MNE中，∠NMO=45°，MG=，【如图12-1〔2〕】
∴MN=，MN即为△ABP的高
由两点间距离公式，求得：AB=
故△ABP最大面积
〔3〕设在直线上存在唯一一点Q使得∠OQC=90°
那么点Q为以OC的中点E为圆心，OC为直径形成的圆E与直线
相切时的切点【如图12-2〔1〕】
由解析式可知：C〔,0〕，OC=，那么圆E的半径：OE=CE==QE
设直线与、轴交于H点和F点，与，
那么F〔0,1〕，∴OF=1 那么H〔,0〕， ∴OH =
∴EH=
∵AB为切线 ∴EQ⊥AB，∠EQH=90°
在△FOH和△EQH中

∴∴ 1：=：QH，∴QH =

+=
求得
考点：一次函数、二次函数、简单的二元二次方程组、一元二次方程根的判别式、平面直角坐标系中的平行与垂直，直角三角形，圆〔相切、圆心角〕〔初一下-平面直角坐标系，初二下-勾股定理，一次函数，初三上-一元二次方程，圆，初三下-二次函、相似三角形〕
【海壁分析】延续了南宁市一贯的出题风格，本次考试的压轴题选择了二次函数综合题。
第一小题考查了二次函数与一次函数的交点〔以前一般是求解析式〕，并不难，数学等级在B以上的都应该拿分，而且这个分比拿选择、填空最后一题的分要容易的多，看到很多同学不做，我们感到十分可惜。
第二小题也没有出乎我们的预料，命题者选择了三种最值问题中的第二种，重点考察是否了解通过平行线求最值的思路。在海壁的课堂上，这种题型我们做过专题的分析，我相信参加中考的海壁同学都能拿分。其实，求出P点以后，用点线距公式来解更加简单。
最后一小题，据我们了解，得分的不多，跪的多，第一难在理解，“是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°〞，这句话让很多人彻底凌乱，很少人能联想到圆的切点。第二，这个题和其他的“存在问题〞又有不同，一般的存在问题是通过设点的坐标来表示线段的长度，而这道题却是用已经存在的参数k来表示线段的长度，这又是一点区别，第三，答案的得数是一个无理数，含有根号，这样就会让计算难度增大极多。综上，海壁教育认为，第三小问在南宁能答对的人不会超过千分之一。海壁预测，2022年，整套试卷的题目难度会降低，最后一题重点复习“动点问题〞。