2022考前冲刺数学第二部分方法二换元法突破.docx
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1、方法二、换元法突破解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4220,先变
2、形为设2tt0,而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原那么,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和0,。例1. 实数x、y满足4x5xy4y5 式 ,设Sxy,求的值。 【分析】 由Sxy联想到cossin1,于是进行三角换元,设代入式求S和S的值。此种解法后面求S最大值和最小值,还可由sin2的有界性而求,即解不等式:|1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法。【另解】 由Sxy,设xt,yt,t, 那么xy代入式得:4S5=5, 移项平方整理得 100t
3、+39S160S1000 。和“均值换元法类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量x、y时,可以设xab,yab,这称为“和差换元法,换元后有可能简化代数式。此题设xab,yab,代入式整理得3a13b5 ,求得a0,,所以S(ab)(ab)2(ab)a,,再求的值。例2 ABC的三个内角A、B、C满足:AC2B,求cos的值。 【分析】 由“AC2B和“三角形内角和等于180的性质,可得 ;由“AC120进行均值换元,那么设 ,再代入可求cos即cos。【解】由ABC中AC2B,可得 ,由AC120,设,代入等式得:2,解得:cos, 即:cos。【另解】由AC2B,得AC120,B60
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