2022年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷).docx
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2022年普通高等学校招生全国统一考试〔广东卷〕 数学〔理科〕逐题详解 参考公式:台体的体积公式,其中分别是台体的上、下底面积,表示台体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每题5分,共40分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.设集合,,那么( ) A .B.C.D. 【解析】D;易得,,所以,应选D. 2.定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是( ) A .B.C.D. 【解析】C;考查根本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为与,应选C. 3.假设复数满足,那么在复平面内,对应的点的坐标是( ) A .B.C.D. 【解析】C;对应的点的坐标是,应选C. 4.离散型随机变量的分布列为 正视图 俯视图 侧视图 第5题图 那么的数学期望 ( ) A .B.C.D. 【解析】A;,应选A. 5.某四棱台的三视图如下列图,那么该四棱台的体积是 ( ) A .B. C.D. 【解析】B;由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为 和的正方形,高为,故,,应选B. 6.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,以下命题中正确的选项是( ) A .假设,,,那么B.假设,,,那么 C.假设,,,那么D.假设,,,那么 【解析】D;ABC是典型错误命题,选D. 7.中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 ( ) A .B.C.D. 【解析】B;依题意,,所以,从而,,应选B. 8.设整数,集合.令集合 假设和都在中,那么以下选项正确的选项是( ) A .,B., C.,D., 【解析】B;特殊值法,不妨令,,那么,,应选B. 如果利用直接法:因为,,所以…①,…②,…③三个式子中恰有一个成立;…④,…⑤,…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况:第一种:①⑤成立,此时,于是,;第二种:①⑥成立,此时,于是,;第三种:②④成立,此时,于是,;第四种:③④成立,此时,于是,.综合上述四种情况,可得,. 二、填空题:此题共7小题,考生作答6小题,每题5分,共30分 是 否 输入 输出 结束 开始 第11题图 n (一)必做题(9~13题) 9.不等式的解集为___________. 【解析】;易得不等式的解集为. 10.假设曲线在点处的切线平行于轴,那么______. 【解析】;求导得,依题意,所以. 11.执行如下列图的程序框图,假设输入的值为,那么输出的值为______. 【解析】;第一次循环后:;第二次循环后:; 第三次循环后:;第四次循环后:;故输出. 12. 在等差数列中,,那么_____. 【解析】;依题意,所以. 或: x y 4 4 1 O 13. 给定区域:,令点集 是在上取得最大值或最小值的点,那么中的点共确定______ 条不同的直线. 【解析】;画出可行域如下列图,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共个整点.故可确定条不同的直线. 〔二〕选做题〔14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分〕 14.(坐标系与参数方程选讲选做题)曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么的极坐标方程为_____________. . A E D C B O 第15题图 【解析】;曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即. 15. (几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上, 延长到使,过作圆的切线交于.假设 ,,那么_________. 【解析】;依题意易知,所以,又 ,所以,从而. 三、解答题:本大题共6小题,总分值80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.〔本小题总分值12分〕 函数,. (Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 假设,,求. 【解析】(Ⅰ); (Ⅱ) 因为,,所以, 所以, 所以. 17.〔本小题总分值12分〕 第17题图 某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下列图,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀 工人的概率. 【解析】(Ⅰ) 样本均值为; (Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为,故推断该车间名工人中有名优秀工人. (Ⅲ) 设事件:从该车间名工人中,任取人,恰有名优秀工人,那么. 18.〔本小题总分值14分〕 如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,, . C O B D E A C D O B E 图1 图2 为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中. C D O B E H (Ⅰ) 证明:平面; (Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值. 【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得 连结,在中,由余弦定理可得 由翻折不变性可知, 所以,所以, 理可证, 又,所以平面. (Ⅱ) 传统法:过作交的延长线于,连结, 因为平面,所以, 所以为二面角的平面角. 结合图1可知,为中点,故,从而 C D O x E 向量法图 y z B 所以,所以二面角的平面角的余弦值为. 向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如下列图, 那么,, 所以, 设为平面的法向量,那么 ,即,解得,令,得 由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量, 所以,即二面角的平面角的余弦值为. 19.〔本小题总分值14分〕 设数列的前项和为.,,. (Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 求数列的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数,有. 【解析】(Ⅰ) 依题意,,又,所以; (Ⅱ) 当时,, 两式相减得 整理得,即,又 故数列是首项为,公差为的等差数列, 所以,所以. (Ⅲ) 当时,;当时,; 当时,,此时 综上,对一切正整数,有. 20.〔本小题总分值14分〕 抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点. (Ⅰ) 求抛物线的方程; (Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程; (Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合, 解得. 所以抛物线的方程为. (Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得 设,(其中),那么切线的斜率分别为,, 所以切线的方程为,即,即 同理可得切线的方程为 因为切线均过点,所以, 所以为方程的两组解. 所以直线的方程为. (Ⅲ) 由抛物线定义可知,, 所以 联立方程,消去整理得 由一元二次方程根与系数的关系可得, 所以 又点在直线上,所以, 所以 所以当时, 取得最小值,且最小值为. 21.〔本小题总分值14分〕 设函数(其中). (Ⅰ) 当时,求函数的单调区间; (Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值. 【解析】(Ⅰ) 当时, , 令,得, 当变化时,的变化如下表: 极大值 极小值 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,. (Ⅱ), 令,得,, 令,那么,所以在上递增, 所以,从而,所以 所以当时,;当时,; 所以 令,那么, 令,那么 所以在上递减,而 所以存在使得,且当时,, 当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减. 因为,, 所以在上恒成立,当且仅当时取得“〞. 综上,函数在上的最大值.- 配套讲稿:
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