2022年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(天津卷).docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
第一卷
一．选择题: 在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 那么
(A) (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [－2,1]
2．设变量x, y满足约束条件那么目标函数z = y－2x的最小值为
(A) －7 (B) －4
(C) 1 (D) 2
3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 假设输入x的值为1, 那么输出S的值为
(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585
4．以下三个命题:
①假设一个球的半径缩小到原来的, 那么其体积缩小到原来的;
②假设两组数据的平均数相等, 那么它们的标准差也相等;
③直线x + y + 1 = 0与圆相切.
其中真命题的序号是:
(A) ①②③ (B) ①② (C) ②③ (D) ②③
5．双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 假设双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 那么p =
(A) 1 (B) (C) 2 (D) 3
6．在△ABC中, 那么 =
(A) (B) (C) (D)
7．函数的零点个数为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
8．函数. 设关于x的不等式的解集为A, 假设, 那么实数a的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
第二卷
二．填空题: 本大题共6小题, 每题5分, 共30分.
9．a, b∈R, i是虚数单位. 假设(a + i)(1 + i) = bi, 那么a + bi = .
10．的二项展开式中的常数项为.
11．圆的极坐标方程为, 圆心为C, 点P的极坐标为, 那么|CP| = .
12．在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 假设, 那么AB的长为.
13．如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 假设AB = AC, AE = 6, BD = 5, 那么线段CF的长为.
14．设a + b = 2, b>0, 那么当a = 时, 取得最小值.
三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解容许写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15． (本小题总分值13分)
函数.
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值.

17． (本小题总分值13分) 如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点.
(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;
(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值.
(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长.
18．(本小题总分值13分)设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 假设, 求k的值.
19．(本小题总分值14分)首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列.
(Ⅰ) 求数列的通项公式;
(Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值.
20．(本小题总分值14分)函数.
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使.
(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.
参考答案
一、选择题
1．D
2．A
3．B
4．C
5．C
6．C
7．B
8．A
9．
10．15
11．
12．
13．
14．
15．
16．
17．
18．
19．
20．