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浅论基于质点弹簧模型的牙齿移动仿真
【摘要】 目的： 研究口腔数字化正畸矫治中的牙齿虚拟移动仿真技术，为制作透明隐形矫治器过程中一系列母模的数字化建模设计作准备。方法：首先，利用三维非接触测量设备采集全口牙石膏模型1∶1的三维点云数据，并构建数字化全口牙数字模型；然后采用质点弹簧模型模拟牙齿的虚拟移动；最后采用VC++和Hoops图形库开发虚拟仿真程序软件。结果：牙齿移动、旋转的仿真方法基本可以满足数字化正畸牙齿虚拟移动的要求。结论：使用光学测量设备采集标准牙模石膏数据并重构出模型曲面，采用质点弹簧模型对牙齿移动进行仿真的方法是可行的、有效的，为研发国产正畸透明隐形矫治器的制作积累了经验。
【关键词】 三维测量　牙齿移动　弹簧质点模型

　Abstract： Objective To explore the simulation technology of tooth movement during the virtual orthodontic treatment and help the doctor rapidly design the shape of invisible tooth aligner. Methods Firstly, a plaster model was measured by the 3Doptical measuring system and the mesh surface was reconstructed from cloud data. Secondly, the springmass model was used to simulate the tooth displacement. Finally, the software prototype was developed using VC++ and Hoops graphics library. Results The movement and rotation of tooth met the requirement of the digital orthodontic treatment. Conclusion The method of tooth movement based on springmass model is feasible and efficient, which provides the basis for the simulation and planning of orthodontic treatment.
　Key words：3D measurement; tooth movement; springmass model
　　隐形矫治系统是三维测量技术、计算机技术以及快速成型技术完美的产物，使用该系统可以为患者制作个性化透明牙套，实现舒适、隐形的矫治过程，并能模拟整个矫治过程，提前预测矫治结果。在矫治过程中，牙齿在矫治力的作用下位置发生改变，牙龈也随之产生变形，矫治结果的预测需要模拟牙齿移动的变化，包含牙齿位置变换和牙龈变形两个部分。
　牙齿位置的移动属于刚体运动，通过坐标线性转换完成，而牙龈变形是牙齿移动仿真的难点之一，属于人体变形［1］的范畴。人体变形是指人体在自身运动或受到外力作用时，骨骼(刚体)改变位置而导致肌肉或皮肤等软组织发生的形状改变。在隐形矫治系统中，牙龈变形仿真要在满足计算实时性的前提下保证良好的真实感。目前的口腔正畸系统，如Align公司的Invisalign系统［2］、Cadent公司的OrthoCAD系统［3］等都具有牙齿移动过程中牙龈跟随变形的仿真模拟。国内仅有首都医科大学的白玉兴等开发了国内首个无托槽矫治系统，并开展了临床试验［4］。但文献中还未见到有相关牙齿移动仿真相关技术研究的报道。
　牙齿移动过程中牙龈变形是牙齿移动仿真的关键部分之一，属于软组织变形模拟，主要有质点弹簧建模法和有限元建模法两种仿真方法。这两种方法都是将连续的几何体在空间上离散化，把无限问题转化为有限问题，通过求解相应的微分方程得到问题的近似解。质点弹簧模型由于结构简单易用、算法容易实现并且计算复杂度低，已被广泛应用于许多领域。而有限元模型可伸缩性好，可以很方便地用相同的网格结构实现对不同复杂程度和精度的计算，而且模型的参数易于调节，能够方便地实现材质的各种属性。但是存在的主要问题是涉及大量复杂的计算，计算复杂度高。有许多学者对相似的软组织变形进行了研究。Nedel等［5］使用质点弹簧模型构造肌肉体，将拉格朗日动力学方程应用于该模型，然后使用龙格库塔法来求解动力学方程，模拟了肌肉体的变形效果。Zhu等［6］将八结点六面体为单元的线性有限元法应用于拉格朗日动力学方程，同样模拟了肌肉的变形。Wilhelms等［7］使用质点弹簧模型模拟了皮肤的变形。Keeve等［8］使用有限元方法模拟了面部组织的变形。本研究在分析牙颌模型数据表示方式的基础上，考虑到计算效率，采用质点弹簧模型仿真模拟牙齿的刚性移动和牙龈的弹性变形过程，显示牙齿的虚拟移动。
　1 材料与方法
　　材料与设备
　使用国产3D CaMega 光学三维扫描系统采集牙颌石膏模型三维数据。该光学三维扫描系统利用精密机械系统精确移动定位实现对物体进行多方位、多角度的拍摄，生成全面、统一的三维型面点云数据。测量主要参数：单次拍摄范围30 mm×24 mm，拍摄距离175 mm，X、Y分辨率 mm，图像分辨率1280×1024，测量精度 mm，测量密度130万点，快门 s。本研究使用的微型计算机配置：PIV　G，512 M内存，120 G硬盘，GeForce2 MX440显卡，32 M显存。选取翻制硬石膏模型开展试验
　　模型数字化
　全口牙列的三维测量提供了一种对患牙模型进行数字化的手段，为后续探测牙弓线、牙齿移动变形等提供了基础数据。本研究采用光学三维扫描系统对牙齿石膏模型进行测量，测量原理如图1所示。测量头主要由1个投影装置和1个数码摄像机组成。测量时，将石膏备牙体装夹在工作平台上，投影装置投射一组光栅到石膏牙体表面，光栅的条纹会随着牙体表面的高度起伏而发生弯曲、变形，弯曲变形的程度包含了牙体的高度信息，通过反射由摄影机采集条纹和图像，经三维图像处理软件，对条纹图像进行处理，计算生成三维数据。
　　三维光学测量系统扫描获取的数据是石膏模型表面的点云数据。在测量过程中存在牙齿的重叠、遮挡等，需要进行多视角测量并对多次测量的数据进行拼接，对扫描得到的点云数据进行处理并三角化之后得到三角网格模型。由于在测量中不可避免地遇到噪声、扫描盲区等缺陷，需要对测量获取的模型进行去噪音、孔洞修补等处理，最终得到的点云数据和三角网格模型如图2所示。
　　数字牙齿移动仿真
　牙齿刚性移动可以采用线性坐标变换的方式进行，本文重点介绍由牙齿刚性移动产生的牙龈变形仿真模拟。
　　牙龈质点弹簧变形建模
　　使用质点弹簧可以为软组织建立面模型和体模型，分别由一系列平面片或多面体组成。在本研究中，数字化后的牙颌模型是三角网格曲面模型，可以自然地把三角网格看作质点弹簧系统网格，三角面片的顶点作为质点弹簧系统的质点，三角网格的边则作为连接质点的弹簧。这样，质点弹簧系统模型就将变形的牙龈简化成由线弹簧连接的线弹性质点系统，可以利用质点弹簧的运动规律来模拟牙龈的弹性变形过程。
　在质点弹簧系统中，每一个质点与周围相邻的若干个质点由遵守胡克定律的弹簧相连，如图3a所示，质点运动则受到与其速度成正比的阻尼力的约束，质点运动而产生的弹簧变形力通过胡克定律计算。在典型的质点弹簧模型中，连接质点的弹簧包括拉力弹簧和交叉弹簧。拉力弹簧将一个质点和与它直接相连的质点连接，它产生的作用力抵抗压缩或拉伸变形；交叉弹簧跨过相邻三角形的公共边，连接两个有公共边的三角形上的质点，交叉弹簧产生的力主要抵抗弯曲和剪切变形。为了提高计算的速度，本研究使用简化的质点弹簧模型，不考虑牙龈变形时产生的弯曲和剪切变形，简化的质点弹簧模型如图3b所示。
　　计算质点弹簧模型中质点的质量和质点所受阻尼时，整个牙龈表面作均质和均匀阻尼处理。对于每个三角片Ti，根据其面积，把质量和所受阻尼平均分配到3个顶点(质点)上，则每个质点(顶点)的质量mi和阻尼ci为：mi=13∑kj=1ρSj,ci=13∑kj=1γSj其中ρ是牙龈曲面的质量面密度，γ是曲面的阻尼分布函数，Sj为第i个顶点的一环邻域内的第j个三角片的面积。
　　系统动力学方程
　　在质点弹簧模型中，质点所受的内力是弹簧产生的弹性变形力和引入的阻尼力。弹簧的弹性变形力可以利用胡克定律来计算，质点pi所受的弹性变形力gi为：gi=∑kj=1kijl0ijxixjxixjxixj(1)其中，kij是弹簧的弹性系数，xi是该时刻质点pi的位置，xj是该时刻与质点pi相连的第j个质点的位置，l0ij是质点pi和与其相连的第j个质点间弹簧的初始长度，弹簧的变形包括拉伸变形和压缩变形，弹簧的弹力方向与向量xixj平行，如果是拉伸变形，则变形力与向量xixj方向一致，如果是压缩变形，则变形力与向量xixj方向相反，如图4所示。质点pi所受的阻尼力fi为：fi=civici是质点Pi的阻尼系数，vi是该时刻质点Pi的速度。
　　运动质点Pi的运动满足拉格朗日运动方程：mid2xdt2+cidxdt+kx=qi (2)式(2)中，x表示质点的位移矢量，mi和ci分别表示质点Pi的质量和阻尼系数，gi=kx是质点受到的弹力，qi是施加到该点上的外部载荷。该方程是一个二阶的偏微分方程，方程左端第1项为质点的惯性力，第2项为质点运动时受到的阻尼力，第3项为质点受到弹簧的弹力，方程右端为施加于质点上的外部载荷。整个质点系统的运动满足微分方程组：Md2Xdt2+CdXdt+KX=Q(3)其中M为n×n的系统质量矩阵，是一个对角矩阵，C为n×n的系统阻尼矩阵，也是一个对角矩阵，K为n×n的系统刚度矩阵，Q为n×1的列矩阵，为外部施加到每个质点上的载荷。

　　上式方程组是一个关于时间历程的二阶偏微分方程组，求解该微分方程组需要补充边界条件：Xt=0=X0，dXdtt=0=V0，d2Xdt2t=0=a0本研究使用Verlet积分法［9］来求解质点弹簧系统的动力学方程。Verlet算法并不显式地计算质点的运动速度，而是通过质点的位置隐式地计算速度，因此Verlet积分法相对比较稳定。
　2 试验结果
　　试验工具
　本研究在Windows XP操作系统平台上，利用Hoops图形开发包和VC++软件开发平台自主研发了牙齿移动仿真模拟程序。
　　试验结果
　牙齿移动仿真模拟计算的结果如图5、6所示。图5a、b分别模拟了牙齿平移2mm和6mm时以及相应的牙龈连接部分变形的效果；图6a、b分别模拟了牙齿绕自身转轴旋转10°和30°时以及相应的牙龈连接部分变形的效果。
　　3 讨 论
　透明隐形矫治技术涉及三维测量技术、数字化设计制造技术、口腔正畸修复学、口腔解剖学等多学科的平移2mm交叉。透明隐形矫治器具有美观、舒适等优越性，因此在欧美等国已经广泛使用，而国内仅有少数口腔医学院校在开展研究，技术落后很多，迫切需要研发具有自主知识产权的数字化口腔正畸矫治技术。本研究初步实现了牙齿移动、牙龈变形仿真模拟等关键技术，为透明隐形矫治器一系列母模的快速制作提供了方法和基础数据，具有重要应用价值。

　　本研究使用简化的质点弹簧方法模拟了牙龈随牙齿移动时的变形过程，使用Verlet积分法求解了系统的动力学方程，实现了由牙齿移动产生的牙龈变形的仿真。该方法在牙齿位置变动较小的情况下可以给出比较好的模拟结果，考虑到牙齿矫正过程中牙齿的变动位置一般比较小，因此该方法可以满足应用需求。但该方法在求解质点运动方程时需要耗费大量的时间，实时性受到一定影响，同时模拟的真实感有待改进。如何加快求解速度，实现实时性较好的变形仿真模拟，提高模拟的精度都是今后研究的重点。
【参考文献】
　　［1］陈永强,王启付.人体头部变形模型研究［J］.计算机工程,2005,1(1):2526.
　　［2］The introduction of invisalign［EB/OL］. ［２００８0108］.http:///WillFit/Pages/
　　［3］RONALD REDMOND　reportdigital models: a new diagnosis toolcomputerized study models overcome many of the shortcomings of plaster casts［J］.J Clin Orthod,2001,35(6):386387.
　　［4］白玉兴,周洁珉,王邦康，等.国产无托槽隐形正畸系统的开发与研制［J］.北京口腔医学,2004,12(2):8992.
　　［5］NEDEL L,THALMANN time muscle deformations using massspring systems［C］//Computer Graphics International ,Germany:IEEE Computer Society Press,1998：156165.
　　［6］ZHU Q H,CHEN Y,KAUFMAN time biomechanicallybased muscle volume deformation using FEM［J］.Computer Graphics Forum,1998:275284.
　　［7］WILHELMS J,GELDER A　based modeling［C］//Proceedings of SIGGRAPH　York:ACM Press，1997: 173180.
　　［8］KEEVE E,GIROD S,PFEIFLE P,et based facail tissue modeling using the finite element method［C］//IEEE Visualization Proceedings of the 7th conference on Visualization ′ Alamitos:IEEE Computer Society Press, 1996:2128.
　　［9］VERLET ‘experiments’on classical fluids Ⅰ:thermo dynamical properties of LennardJones molecules［J］.Physical Review,1967,15(9):98103.