2015年高考理科数学陕西卷-答案.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
理科数学答案解析
第一部分
一、选择题
1.【答案】A
【解析】由

所以．
【提示】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案
【考点】并集及其运算
2.【答案】C
【解析】初中部女教师的人数为；高中部女教师的人数为，∴该校女教师的人数为，
【提示】利用百分比，可得该校女教师的人数．
【考点】收集数据的方法．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可得当取最小值-1时，函数取最小值，解得，∴，∴当取最大值1时，函数取最大值，
【提示】由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．
【考点】的图象性质．
4.【答案】B
【解析】二项式的展开式的通项是，
令得的系数是，
因为的系数为，所以，
即，解得：或，
因为，所以
【提示】由题意可得，解关于n的方程可得．
【考点】二项式定理的应用．
5.【答案】D
【解析】根据几何体的三视图，得；
该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为

【提示】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．
【考点】由三视图求面积，体积
6.【答案】A
【解析】

所以
【提示】由，即可判断出．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
7.【答案】B
【解析】因为，所以选项A正确；
当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；
向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；
所以选项D正确
【提示】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．
【考点】平面向量数量积的运算
8.【答案】C
【解析】解：模拟执行程序框图，可得

满足条件
满足条件
……
满足条件
满足条件
不满足条件
输出y的值为
【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当时不满足条件，计算并输出y的值为.
【考点】程序框图
9.【答案】B
【解析】，，

函数在上单调递增，
因为，所以，
所以
【提示】由题意可得，，，可得大小关系．
【考点】不等关系与不等式．
10.【答案】D
【解析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，则，目标函数为．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．
由得，平移直线由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为，∴
即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是万元

【提示】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．
【考点】简单线性规划的应用
11.【答案】D
【解析】∵复数且，
∴，即，
∴点在为圆心1为半径的圆及其内部，而表示直线左上方的部分，（图中阴影弓形）
∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，
∴所求概率

【提示】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．
【考点】几何概型
12.【答案】A
【解析】假设选项A错误，则选项B、C、D正确，，
因为1是的极值点，3是的极值，
所以，，解得，
因为点在曲线上，所以，
解得：，所以，，
所以
因为，
所以不是的零点，所以假设成立，选A
【提示】可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论．
【考点】二次函数的性质．
第二部分
二、填空题
13.【答案】5
【解析】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得
解得
【提示】由题意可得首项的方程，解方程可得．
【考点】等差数列
14.【答案】
【解析】抛物线的准线方程是，
双曲线的一个焦点，
因为抛物线的准线
经过双曲线的一个焦点，
所以，解得
【提示】先求出的左焦点，得到抛物线的准线，依据p的意义求出它的值．
【考点】抛物线的简单性质
15.【答案】
【解析】∵，∴
∵在处的切线与上点P的切线垂直
∴点P处的切线斜率为
又，设点
∴
∴
∴
∴点
【提示】利用在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
16.【答案】
【解析】如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：，因为抛物线经过，可得，
所以抛物线方程：，横截面为等腰梯形的水渠，
泥沙沉积的横截面的面积为：，
等腰梯形的面积为：，当前最大流量的横截面的面积，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：

【提示】建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
三、解答题
17.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）因为向量与平行，所以，由正弦定理可知：，因为，所以，可得；
（Ⅱ）由正弦定理得，从而，
又由，知，所以
故

所以的面积为
【提示】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；
（Ⅱ）利用A，以及，通过余弦定理求出c，然后求解的面积．
【考点】余弦定理的应用，平面向量共线（平行）的坐标表示
18.【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
【解析】证明：（Ⅰ）在图1中，∵，E是的中点，，
∴，即在图2中，，则；
∵，
∴；
（Ⅱ）若，由（Ⅰ）知，
∴为二面角的平面角，
∴，如图，建立空间坐标系，
∵，
∴，

设的法向量为，的法向量为，则得，令，则，即，由得，取，
则，
即与夹角的余弦值为．

【提示】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：；
（Ⅱ）若，建立空间坐标系，利用向量法即可求与夹角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的性质
19.【答案】（Ⅰ）T的分布列为：
T
25
30
35
40
P
0.2
0.3
0.4
0.1
（分钟）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分步为
T（分钟）
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得T的分布列为
T
25
30
35
40
P
0.2
0.3
0.4
0.1
从而数学期望（分钟）
（Ⅱ）设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过分钟”，由于讲座时间为分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过分钟”

故
【提示】（Ⅰ）求T的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数÷样本容量，
数学期望（分钟）；
（Ⅱ）设分别表示往、返所需时间，事件A对应于“刘教授共用时间不超过分钟”，先求出
【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列
20.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）经过点和的直线方程为，
则原点到直线的距离为，即为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为①，
由题意可得圆心是线段的中点，则，易知与x轴不垂直，
记其方程为，代入①可得
，设，
则，，由，得，解得，
从而，于是，
解得，则有椭圆E的方程为
【提示】（Ⅰ）求出经过点和的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为，①设出直线的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得，即可得到椭圆方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，曲线与方程
21.【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）当时，
当时，
【解析】证明：（Ⅰ）由，则，
，
∴在内至少存在一个零点，又，
∴在内单调递增，
∴在内有且仅有一个零点，
∵是的一个零点，
∴，即，故；
（Ⅱ）由题设，，
设．
当时，．
当时，．
若，
．
若，
．
∴在内递增，在内递减，
∴，即．
综上，当时，；
当时，．
【提示】（Ⅰ）由，求得，．再由导数判断出函数在内单调递增，得到在内有且仅有一个零点，由，得到；
（Ⅱ）先求出，构造函数，当时，；当时，利用导数求得在内递增，在内递减，即得到．
【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合
22.【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）3
【解析】证明：（Ⅰ）∵是的直径，则，
∵，
∴，即，
∵切于点B，
∴，即；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平分，则，
∵，
∴，，则，
由切割线定理得，即，
故，即的直径为3．
【提示】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：；
（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求的直径．
【考点】直线与圆的位置关系
23.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由的极坐标方程为．
∴，化为，配方为．
（Ⅱ）设，又．
∴，
因此当时，取得最小值．
此时．
【提示】（Ⅰ）由的极坐标方程为．化为，把代入即可得出．
（Ⅱ）设，又．利用两点之间的距离公式可得，再利用二次函数的性质即可得出．
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化
24.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）4
【解析】（Ⅰ）关于x的不等式可化为，又∵原不等式的解集为，∴，解方程组可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

，当且仅当即时取等号，
∴所求最大值为4
【提示】（Ⅰ）由不等式的解集可得a与b的方程组，解方程组可得；
（Ⅱ）原式，由柯西不等式可得最大值．
【考点】不等关系与不等式
13 / 13