2015年高考文科数学湖北卷.docx

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绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.
姓名________________ 准考证号_____________
注意事项：
1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．为虚数单位，= （ ）
A．
B．
C．
D．1
2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 （ ）
A．134石
B．169石
C．338石
D．1 365石
3．命题“，”的否定是 （ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．已知变量和满足关系，变量与正相关.下列结论中正确的是 （ ）
A．与负相关，与负相关
B．与正相关，与正相关
C．与正相关，与负相关
D．与负相关，与正相关
5．，表示空间中的两条直线，若p：，是异面直线；q：，不相交，则 （ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
6．函数的定义域为 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．设，定义符号函数则 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．在区间上随机取两个数，，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则 （ ）
A．对任意的，，
B．当时，；当时，
C．对任意的，，
D．当时，；当时，
10．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为 （ ）
A．77
B．49
C．45
D．30
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、 填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中的横线上.
11．已知向量，，则___________.
12．若变量满足约束条件则的最大值是___________.
13．函数的零点个数为___________.
14．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）直方图中的_________；
（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________.

15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度_________m.

16．如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且.
（Ⅰ）圆的标准方程为_________；
（Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________.

17． a为实数，函数在区间上的最大值记为.当_________时，的值最小.
三、 解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本小题满分12分）
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

0

0
5

0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象，求的图象离原点O最近的对称中心.

19．（本小题满分12分）
设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q，已知，，，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和.

20．（本小题满分13分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是PC的中点，连接，，.
（Ⅰ）证明：.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值.

21．（本小题满分14分）
设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中e为自然对数的底数.
（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；
（Ⅱ）设，，证明：当时，.

22．（本小题满分14分）
一种画椭圆的工具如图1所示，是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点.若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

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