HPM视角下的高中数学教学优化设计例析.pdf
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1、HPM 视角下的高中数学教学优化设计例析 数学是推动科技发展的关键学科之一,也是伴随人类社会发展生生不息的一门学科.评价如此之高的数学学科,学生怎会对其缺乏兴趣,而丧失学习动机呢?HPM 研究很好地回答了这一问题.?HPM 研究的意义和价值 毋庸置疑,数学教学的最终目的是促进学生对数学知识的理解和运用,教学设计也必须基于这一目标进行.尽管各个教学环节的设计经过精心打磨,从情境引入,到复习旧知,到活动探究,最后到归纳总结,都看似很“完美”,且衔接过渡顺畅,其中不乏教师的些许创意.但大多数情况下,学生学习数学的主动性很难被调动起来,只是被动地接受一些概念、性质、定理、公式、解法等具体的数学知识,却
2、无暇顾及对“为什么要学”、“学到的内容有什么用”等问题的思考,消退和遗忘成为时间推移的必然结果.HPM(History and Pedagogy of Mathematics),含义为“数学史在数学教学中的渗透”,自 1972 年第二届国际数学教育大会上第一个 HPM 国际研究小组成立以来,一直备受广大数学教育工作者的关注.HPM 研究主要涉及数学教育取向的数学史研究、基于数学史的教学设计、历史相似性研究、数学史融入数学教学的行动研究四个方面.数学教育除了数学技术的教学,还应该有人文精神的传承.重结果,轻过程的数学教育是走不远的,随着学习的深入,学生只会更加讨厌数学.数学史恰好提供了这样一个平
3、台,从历史的角度重新审视数学知识,关注数学知识的发生和形成过程,对学习数学知识的必要性给予了强有力的回答,丰富教师的课堂教学,激发学生的学习兴趣,预见学生的认知发展,促进学生的数学理解培养学生的人文气息.既然数学教育的目的是培养学生终身发展所需的 6 个核心素养,那么数学史就是维持学生终身学习数学的精神支柱1.?HPM 视角下的教学设计优化案例 1.历史发生原理的启示 虚数的概念在高中数学体系中无疑是一大亮点,将数系从实数域扩张到了复数域.可能是因为复数在高考中的地位无足轻重,无非是一道选择题或填空题,广大教师们在引入虚数概念时,搬用教材上的 x2+1=0 在实数域上无解的例子,从而定义 i=
4、,i 为虚数单位.如此展开教学显然是不合适的,要知道数学家们花了三百多年才理解复数,我们的学生在寥寥几语中就能明白虚数为何物了吗?我们不妨追溯一下数学家探索虚数的历程.后来,笛卡尔在他的著作几何学中对负数开平方后得到的数起名为“imaginary figure”,意为“虚无缥缈的数”,虚数单位 i 正是来源于此.由此可见,17 世纪一流的头脑在面对虚数时都会如此困惑不解,我们的学生在短短几分钟内就能超越古人理解虚数了吗?显然,用 x2+1=0 引入虚数是失败的.学生对数学问题的理解过程和数学在历史上的发展过程具有相似性,此即为历史发生原理.正如 M?克莱因所说:“历史上数学家们所遇到的困难,也
5、正是学生的学习障碍”.因此,借助卡尔达诺和莱布尼兹的例子作为引入更能激起学生认知结构的冲突,前者让学生初步感知虚数的存在,后者让学生感受虚数和实数之间存在某种联系,从而为学生创造学习动机.2.在历史中寻找数学认知起点 如果要深入数学史与数学教育的关系层面,就必须考虑知识的发生过程,教师除了教授新的知识点,还要寻找学生的认知起点,把新知识建立在学生已有认知基础之上.导数的几何意义是刻画函数单调性的重要工具,也是沟通初等数学与高等数学的桥梁.学生在瞬时变化率概念和极限思想 x0 的引导下,理解了导数的定义.在引入导数的几何意义时,常用的方法是运用极限的思想,将曲线上两点的割线的斜率转化为曲线在其中
6、某一点处切线的斜率.该方法实质上是从导数的定义式入手,联系直线的斜率公式k=,再将两点无限逼近,从割线过渡到切线.其不足之处也是显而易见的,其一,忽视了研究曲线的切线的数学背景,学生不能认识到为何要通过割线来引入切线;其二,没有对曲线的切线做明确定义,学生容易将其和其他概念相混淆,缺乏严谨性.带着这两个问题,我们不妨去数学史中寻找改进措施.3 切线问题被数学家誉为 17 世纪最有用的数学问题,为此我们不妨先了解一下切线的历史,这样才能让学生知道我们为何要引入切线.历史上切线研究的必要性源于三大问题:光学问题.光在平面上的反射规律,人们早已耳熟能详,入射角=反射角,那么曲面上光的反射规律如何探究
7、,入射角和反射角该如何确定?这就需要找出入射点处的切线位置.运动问题.做曲线运动的质点在某一时刻的运动方向如何确定?没有切线角?更为一般的,一条曲线和一条直线存在夹角吗?寸步难行.曲线夹角问题.两条相交的曲线是否存在夹角?图 1 所示,过圆上一点作圆的切线,圆和直线之间有夹角吗?假设夹角不存在,可以在切点处构造一个半径较小的圆与直线相切,如图 2 所示.如此一来,直观感觉上切点附近弧与直线间的空间增加了.但反之,如果夹角存在,欧几里得却又令我们很失望,他在几何原本中给出命题:“过圆上一点有且仅有一条切线.”换言之,圆和切线之间插入的第二条直线必然和圆相交于两点,如此说来,角是不存在的.古希腊数
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