高优指导2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用14导数与函数的单调性极值最值考点规范练文北师大版.doc

考点规范练14　导数与函数的单调性、极值、最值
　考点规范练B册第8页　 
基础巩固组
1.(2015江西九江模拟)函数f(x)=(x-3)ex的递增区间是(　　)

A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)
答案:D
解析:函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.
2.(2015长春调研)已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上递增”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:f'(x)=x2+a,当f(x)在R上递增时,f'(x)≥0恒成立,则a≥0,故“a>0”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件.
3.设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.1<a≤2 B.a≥4 C.a≤2 D.0<a≤3
答案:A
解析:∵f(x)=x2-9ln x,
∴f'(x)=x-(x>0),
当x-≤0,即0<x≤3时,函数f(x)是减函数,
∴a-1>0,且a+1≤3,解得1<a≤2.
4.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则(　　)
A.a<-1 B.a>-1
C.a>- D.a<-
答案:A
解析:∵y=ex+ax,∴y'=ex+a.
∵函数y=ex+ax有大于零的极值点,
∴方程y'=ex+a=0有大于零的解.
∵当x>0时,-ex<-1,
∴a=-ex<-1.
5.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是(　　)
A.f B.f
C.f D.f〚导学号32470735〛
答案:C
解析:构造函数F(x)=f(x)-kx,
则F'(x)=f'(x)-k>0,
∴函数F(x)在R上为递增函数.
∵>0,∴F>F(0)=f(0)=-1.
即f-1=,
∴f,故C错误.
6.(2015东北八校月考)已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为　　　　　.〚导学号32470736〛 
答案:4
解析:∵f'(x)=3x2+6ax+3b,
∴解得
∴f'(x)=3x2-6x,令3x2-6x=0,得x=0或x=2,
∴f(x)极大值-f(x)极大值=f(0)-f(2)=4.
7.(2015成都一诊)已知函数f(x)=-2x2+ln x(a>0).若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,则a的取值范围是　　　　　. 
答案:∪[1,+∞)
解析:f'(x)=-4x+,若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,即f'(x)=-4x+≥0或f'(x)=-4x+≤0在[1,2]上恒成立,即≥4x-≤4x-在[1,2]上恒成立.令h(x)=4x-,则h(x)在[1,2]上递增,所以≥h(2)或≤h(1),即≤3,又a>0,所以0<a≤或a≥1.
8.(2015贵阳模拟)已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1.
(1)试求a,b的值并求出f(x)的单调区间;
(2)求在区间[-2,2]上的最大值与最小值.
解:(1)因为f(x)=x3-3ax2+2bx,
所以f'(x)=3x2-6ax+2b,
由已知得f'(1)=0,则3-6a+2b=0,①
因为当x=1时有极小值-1,
所以f(1)=1-3a+2b=-1,②
由①②得a=,b=-,
把a=,b=-代入f(x)中,
得f(x)=x3-x2-x,所以f'(x)=3x2-2x-1,
令f'(x)=0,则f'(x)=(3x+1)(x-1),
若f'(x)>0,即在,(1,+∞)上,函数f(x)递增,
若f'(x)<0,即在上,函数f(x)递减.
(2)由(1)知f(x)=x3-x2-x,f'(x)=3x2-2x-1,
令f'(x)=0,则f'(x)=(3x+1)(x-1)=0,解得x=-或x=1.
因为f(-2)=-10,f,f(1)=-1,f(2)=2,
所以f(x)在区间[-2,2]上的最大值为2,最小值为-10.
9.(2015沈阳质检)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax+b.
(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式;
(2)若φ(x)=-f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围.
解:(1)由已知得f'(x)=,
∴f'(1)=1=a,a=2.
又∵g(1)=0=a+b,
∴b=-1,∴g(x)=x-1.
(2)∵φ(x)=-f(x)=-ln x在[1,+∞)上是减函数,
∴φ'(x)=≤0在[1,+∞)上恒成立.
即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,
则2m-2≤x+,x∈[1,+∞)恒成立,
∵x+∈[2,+∞),∴2m-2≤2,m≤2.
故数m的取值范围是(-∞,2].〚导学号32470737〛
10.(2015河北衡水中学二调)已知函数f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).
(1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值.
解:(1)当a=5时,g(x)=(-x2+5x-3)ex,g(1)=e.
又g'(x)=(-x2+3x+2)ex,
故切线的斜率为g'(1)=4e.
所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x

f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗

①当t≥时,在区间[t,t+2]上f(x)为增函数,
所以f(x)min=f(t)=tln t.
②当0<t<时,在区间上f(x)为减函数,在区间上f(x)为增函数,
所以f(x)min=f=-.〚导学号32470738〛
能力提升组
11.设f(x)=kx--2ln x,若f(x)在其定义域内为增函数,则k的取值范围是(　　)
A.(-∞,1] B.[1,+∞)
C.(-∞,-1] D.[-1,+∞)〚导学号32470739〛
答案:B
解析:由题意可得f'(x)=k+.
令h(x)=kx2-2x+k,要使f(x)在其定义域(0,+∞)上递增,
只需h(x)在(0,+∞)内满足h(x)≥0恒成立.
由h(x)≥0得kx2-2x+k≥0,
即k≥在x∈(0,+∞)上恒成立,
∵x>0,∴x+≥2.∴≤1.∴k≥1.
12.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是　　　　　. 
答案:(0,1)∪(2,3)
解析:由题意知f'(x)=-x+4-
=-.
由f'(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3.
则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,
函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,
由t<1<t+1或t<3<t+1,
得0<t<1或2<t<3.
13.已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图像过点(-1,-6),且函数g(x)=f'(x)+6x的图像关于y轴对称.
(1)求m,n的值及函数y=f(x)的单调区间;
(2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.
解:(1)由函数f(x)的图像过点(-1,-6),得m-n=-3.①
由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f'(x)=3x2+2mx+n,
则g(x)=f'(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
而g(x)的图像关于y轴对称,所以-=0,
所以m=-3.代入①得n=0.
于是f'(x)=3x2-6x=3x(x-2).
由f'(x)>0得x>2或x<0,故f(x)的递增区间是(-∞,0)和(2,+∞);
由f'(x)<0,得0<x<2,故f(x)的递减区间是(0,2).
(2)由(1)得f'(x)=3x(x-2),令f'(x)=0得x=0或x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗

由此可得:当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值;
当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;
当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值;
当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.
综上得,当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值;
当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值;
当a=1或a≥3时,f(x)无极值.〚导学号32470740〛
14.设函数f(x)=aln x+,其中a为常数.
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
解:(1)由题意知a=0时,f(x)=,x∈(0,+∞).
此时f'(x)=.可得f'(1)=,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=.
当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上递增.
当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),
①当a=-时,Δ=0,f'(x)=≤0,函数f(x)在(0,+∞)上递减.
②当a<-时,Δ<0,g(x)<0,
f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上递减.
③当-<a<0时,Δ>0.
设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,
则x1=,
x2=.
由x1=
=>0,
所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)递减;
x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)递增;
x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)递减.
综上可得,
当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上递增;
当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上递减;
当-<a<0时,f(x)在,
上递减,
在上递增.

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