2022年高考数学总复习第八章立体几何练习理.doc

第八章　立体几何
第1讲　空间几何体的三视图和直观图
1．以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．(2022年四川)一个几何体的三视图如图X8­1­1，那么该几何体可以是(　　)
图X8­1­1
A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台
3．如图X8­1­2，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，那么原图形的周长为(　　)
图X8­1­2
A．6 cm B．8 cm C．(2＋4 )cm D．(2＋2 )cm
4．(2022年广东汕头一模)一个锥体的主视图和左视图如以下图X8­1­3，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)
图X8­1­3
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
5．如图X8­1­4是长和宽分别相等的两个矩形．给定以下三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图X8­1­4；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图X8­1­4；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图X8­1­4.其中真命题的个数是(　　)
图X8­1­4
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．某一几何体的正视图与侧视图如图X8­1­5，那么在以下图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为(　　)
图X8­1­5
A．①②③⑤ B．②③④⑤
C．①②④⑤ D．①②③④
7．(2022年新课标Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，那么得到的正视图可以为(　　)
A B C D
8．如图X8­1­6，直三棱柱的正视图面积为2a2，那么侧视图的面积为________．
图X8­1­6
9．如图X8­1­7所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在图X8­1­8中画出．
X8­1­7
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．
X8­1­8
10．如图X8­1­9所示的为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.
(1)如图X8­1­10所示的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正视图和侧视图；
(2)求四棱锥B­CEPD的体积；
(3)求证：BE∥平面PDA.
X8­1­9
X8­1­10
第2讲　空间几何体的外表积和体积
1．(2022年福建)以边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(　　)
A．2π　　 B．π　 C．2　 D．1
2．(2022年上海)假设两个球的外表积之比为1∶4，那么这两个球的体积之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16
3．(2022年广东)某四棱台的三视图如图X8­2­1，那么该四棱台的体积是(　　)
图X8­2­1
A．4 B. C. D．6
4．(2022年新课标Ⅱ)如图X8­2­2，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，那么切削的局部的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)
A. B. C. D.
图X8­2­2 　　图X8­2­3
5．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，假设放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图X8­2­3)，那么球的半径是________cm.
6．(2022年江苏)设甲、乙两个圆柱的底面面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.假设它们的侧面面积相等，且＝，那么＝________.
7．假设一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，那么该圆锥的体积为________．
8．(2022年江苏)如图X8­2­4，在三棱柱A1B1C1­ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F­ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1­ABC的体积为V2，那么V1∶V2＝__________.
图X8­2­4
9．如图X8­2­5，设计一个正四棱锥形的冷水塔，高是1 m，底面的边长是2 m.
(1)求这个正四棱锥形冷水塔的容积；
(2)制造这个水塔的侧面需要的钢板的面积是多少？
图X8­2­5
10．如图X8­2­6，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．
(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；
(2)平面BDC1分此棱柱为两局部，求这两局部体积的比．
图X8­2­6
第3讲　点、直线、平面之间的位置关系
1．(2022年安徽)在以下命题中，不是公理的是(　　)
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
2．以下命题正确的选项是(　　)
A．假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行
B．假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行
C．假设一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线平行
D．假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行
3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在以下命题中，不正确的选项是(　　)
A．假设AC与BD共面，那么AD与BC共面
B．假设AC与BD是异面直线，那么AD与BC是异面直线
C．假设AB＝AC，DB＝DC，那么AD＝BC
D．假设AB＝AC，DB＝DC，那么AD⊥BC
4．(2022年广东)假设空间中有四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，那么以下结论一定正确的选项是(　　)
A．l1⊥l4　
B．l1∥l4
C．l1，l4既不平行也不垂直
D．l1，l4的位置关系不确定
5．如图X8­3­1所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°；④CN与AF垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是(　　)
A．①②③ B．②④ C．③ D．③④
图X8­3­1 　　图X8­3­2
6．(2022年上海)在如图X8­3­2所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为________．
7．(2022年广东惠州一模)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．
8．(2022年安徽)如图X8­3­3，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°.PB＝PD＝2，PA＝.
(1)证明：PC⊥BD；
(2)假设E为PA的中点，求三棱锥P­BCE的体积．
图X8­3­3
9．如图X8­3­5所示的是一个正方体(如图X8­3­4)的外表展开图，MN和PQ是两个面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答以下问题．
(1)求MN和PQ所成角的大小；
(2)求三棱锥M­NPQ的体积与正方体的体积之比．
图X8­3­4　　　　　　　图X8­3­5
第4讲　直线、平面平行的判定与性质
1．直线l，m，n及平面α，以下命题中是假命题的是(　　)
A．假设l∥m，m∥n，那么l∥n B．假设l⊥α，n∥α，那么l⊥n
C．假设l⊥m，m∥n，那么l⊥n D．假设l∥α，n∥α，那么l∥n
2．m，n是两条直线，α，β是两个平面，给出以下命题：①假设n⊥α，n⊥β，那么α∥β；②假设平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，那么α∥β；③假设n，m为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，那么α∥β.其中正确命题的个数是(　　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．如图X8­4­1，l是过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，以下结论错误的选项是(　　)
A．D1B1∥l B．BD∥平面AD1B1
C．l∥平面A1D1B1 D．l⊥B1C1
图X8­4­1　　　 图X8­4­2
4．设m，n为两条直线，α，β为两个平面，那么以下四个命题中，正确的选项是(　　)
A．假设m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，那么α∥β
B．假设m∥α，m∥n，那么n∥α
C．假设m∥α，n∥α，那么m∥n
D．假设m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，那么α∥β
5．如图X8­4­2，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．假设EF∥平面AB1C，那么线段EF的长度等于________．
6．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，那么截面面积为________．
7．如图X8­4­3(1)，在透明塑料制成的长方体ABCD­A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有以下四个说法：
①水的局部始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③棱A1D1始终与水面EFGH平行；
④当容器倾斜如图X8­4­3(2)时，BE·BF是定值．
其中正确说法的序号是____________．
图X8­4­3
8．(2022年广东惠州一模)如图X8­4­4，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2.
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)假设BC＝3，求三棱锥D­BC1C的体积．
图X8­4­4
9．(2022年安徽)如图X8­4­5，四棱锥P­ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)证明：GH∥EF；
(2)假设EB＝2，求四边形GEFH的面积．
图X8­4­5
第5讲　直线、平面垂直的判定与性质
1．(2022年广东)设l为直线，α，β是两个不同的平面，以下命题中正确的选项是(　　)
A．假设l∥α，l∥β，那么α∥β
B．假设l⊥α，l⊥β，那么α∥β
C．假设l⊥α，l∥β，那么α∥β
D．假设α⊥β，l∥α，那么l⊥β
2．如图X8­5­1，ABCD­A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的选项是(　　)
图X8­5­1
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成角
为60°
3．(2022年广东深圳一模)直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，那么“a⊥b〞是“α∥β〞的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．如图X8­5­2，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，A1D与BC1所成的角为，那么BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
图X8­5­2 　　　图X8­5­3
5．a，b，c是三条不同的直线，命题“a∥b，且a⊥c⇒b⊥c〞是正确的，如果把a，b，c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图X8­5­3，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，假设AB＝2，AA1＝1，那么点A到平面A1BC的距离为(　　)
A. B. C. D.
7．正三棱锥P­ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，假设PA，PB，PC两两互相垂直，那么球心到截面ABC的距离为________．
8．(2022年辽宁)如图X8­5­4，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D­BCG的体积．
图X8­5­4
9．(2022年北京)如图X8­5­5，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，点E，F分别为A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E­ABC的体积．
图X8­5­5
第6讲　空间坐标系与空间向量
1．a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，假设a⊥(a－λb)，那么实数λ的值为(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
2．假设向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角余弦值为，那么λ＝(　　)
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
3．(由人教版选修2­1P105­例1改编)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，那么此平行六面体的对角线AC1的长为(　　)
A. B．2 C. D.
4．在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设＝a，＝b，＝c，那么＝(　　)
A.a＋b－c B．－a＋b＋c
C. a－b＋c D. a＋b－c
5．以下等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是(　　)
A.＝3－2－
B.＝＋＋
C.＋＋＋＝0
D.＋＋＝0
6．空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，那么·＝(　　)
A. B．－ C. D．－
7．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，那么|MN|＝(　　)
A.a B.a
C.a D.a
8．三点A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，那么
(1)与的夹角等于________；
(2)在方向上的投影等于________．
9．三棱锥O­ABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，那么〈，〉的大小为__________．
10．(2022年新课标Ⅰ)如图X8­6­1，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.
(1)证明：AC＝AB1；
(2)假设AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A­A1B1­C1的余弦值．
图X8­6­1
第7讲　空间中角与距离的计算
1．向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，假设cos〈m，n〉＝－，那么l与α所成的角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．如图X8­7­1，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值等于(　　)
A. B. C. D.
图X8­7­1
3．如图X8­7­2，假设正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角为60°，那么A1C1到底面ABCD的距离为(　　)
图X8­7­2
A. B．1
C. D.
4．在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，那么AD与平面BB1C1C所成角的大小是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．如图X8­7­3，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正切值是(　　)
A. B. C. D.
图X8­7­3
6．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与ACD垂直，那么B与D之间的距离为________．
7．点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，那么平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．
8．(2022年新课标Ⅰ)如图X8­7­4，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
图X8­7­4
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)假设平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
9．(2022年江苏)如图X8­7­5，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
图X8­7­5
第八章　立体几何
第1讲　空间几何体的三视图和直观图
1．B　2.D　3.B　4.C
5．A　解析： ①可以是放倒的三棱柱，所以正确；容易判断②正确；③可以是放倒的圆柱，所以也正确．
图D85
6．D
7．A　解析：在空间直角坐标系中，先画出四面体O­ABC的直观图(如图D85)，以xOz平面为投影面，那么易得到正视图．应选A.
8.a2　解析：由正视图面积可求出直三棱柱的高为2a，底面的正三角形的高为a，故左视图的面积为2a·a＝a2.
9．解：(1)如图D86.
(2)所求多面体体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－××2＝.
图D86
10．(1)解：该组合体的正视图和侧视图如图D87.
图D87
(2)解：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD.
∵BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE.
∵S梯形PDCE＝(PD＋EC)·DC＝×3×2＝3，
∴四棱锥B­CEPD的体积为
VB­CEPD＝S梯形PDCE·BC＝×3×2＝2.
(3)证明：∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，EC⊄平面PDA，
∴EC∥平面PDA.同理，BC∥平面PDA.
∵EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，且EC∩BC＝C，
∴平面EBC∥平面PDA.
又∵BE⊂平面EBC，∴BE∥平面PDA.
第2讲　空间几何体的外表积和体积
1．A　解析：由，得圆柱的底面半径和高均为1，其侧面积等于S＝2π×1×1＝2π.
2．C　解析：因为球的外表积S＝4πR2，两个球的外表积之比为1∶4，那么两个球的半径之比为1∶2.又因为球的体积V＝πR3，那么这两个球的体积之比为1∶8.
3．B　解析：由三视图可知，该四棱台的上、下底面边长分别为1和2的正方形，高为2，故V＝×(12＋＋22)×2＝.应选B.
4．C　解析：由三视图复原几何体为小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，那么其体积和为π×22×4＋π×32×2＝34π，而圆柱体毛坯体积为π×32×6＝54π，故切削局部的体积为20π，从而切削的局部的体积与原来毛坯体积的比值为＝.
5．4　解析：设球的半径为r，那么由3V球＋V水＝V柱，可得3×·πr3＋πr2×8＝πr2×6r.解得r＝4.
6.　解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2，h1，h2，那么2πr1h1＝2πr2h2，＝.又＝＝，所以＝.那么＝＝·＝·＝＝.
7.π　解析：因为半圆面的面积为πl2＝2π，所以l2＝4，即l＝2，即圆锥的母线l＝2.底面圆的周长2πr＝πl＝2π，所以圆锥的底面半径r＝1，所以圆锥的高h＝＝.所以圆锥的体积为πr2h＝π×1×＝π.
8．1∶24　解析：V1＝S△ADEh1＝×S△ABC×h2＝V2，所以V1∶V2＝1∶24.
9．解：(1)V＝S底h＝×2×2×1＝(m3)．
答：这个正四棱锥形冷水塔的容积是 m3.
(2)如图D88，取底面边长的中点E，连接SE.
图D88
SE＝＝＝(m)，
S侧＝4××2×＝4 (m2)．
答：制造这个水塔的侧面需要4 m2的钢板．
10．(1)证明：由题意知，BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1.
又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC.
∵AC＝AD，A1C1＝A1D，
∴∠A1DC1＝∠ADC＝45°.
∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC.
又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
(2)解：设棱锥B­DACC1的体积为V1，AC＝1.
由题意，得V1＝××1＝.
又三棱柱ABC­A1B1C1的体积V＝×1×1×2＝1，
∴(V－V1)∶V1＝1∶1.
故平面BDC1分此棱柱所得的两局部体积的比为1∶1.
第3讲　点、直线、平面之间的位置关系
1．A　2.C　3.C
4．D　解析：如图D89，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，取AA1为l2，BB1为l3，AD为l1.假设AB为l4，那么l1⊥l4；假设BC为l4，那么l1∥l4；假设A1B1为l4，那么l1与l4异面．因此l1，l4的位置关系不确定．应选D.
图D89 　　　图D90
5．D
6.　解析：∵A1D∥B1C，∴直线A1B与A1D所成的角即为异面直线A1B与B1C所成的角．又∵△A1DB为正三角形，∴∠DA1B＝.故答案为.
7.　解析：如图D90，连接AE，DF，D1F，那么DF∥AE，所以DF与D1F所成的角即为异面直线AE，D1F所成的角，设正方体的边长为2，那么DF＝D1F＝，在△DD1F中，cos∠D1FD＝＝.
8．解：(1)证明：如图D91，连接AC交BD于点O，连接PO.
∵PB＝PD，∴PO⊥BD.
又∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.
而AC∩PO＝O，∴BD⊥平面PAC.
∴BD⊥PC，即PC⊥BD.
(2)在△ABD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，
那么BD＝2，AC＝2AO＝2 .
又PO⊥BD，那么PO＝＝.
AO2＋PO2＝6＝AP2，∴PO⊥AC.
又PE＝PA，那么
S△PEC＝S△PAC＝×＝.
∵BD⊥平面PAC，∴BO⊥平面PEC.
∴VP­BEC＝VB­PEC＝S△PEC·BO＝××1＝.
图D91 　　　图D92
9．解：(1)如图D92，连接NC，NQ，MC，MN与PQ是异面直线．
在正方体中，PQ∥NC，那么∠MNC为MN与PQ所成的角．
因为MN＝NC＝MC，所以∠MNC＝60°.
所以MN与PQ所成角的大小为60°.
(2)设正方体棱长为a，那么正方体的体积V＝a3.
而三棱锥M­NPQ的体积与三棱锥N­PQM的体积相等，且NP⊥平面PQM，
所以VN­PQM＝××MP×MQ×NP＝a3.
所以三棱锥M­NPQ的体积与正方体的体积之比为1∶6.
第4讲　直线、平面平行的判定与性质
1．D　2.B　3.D
4．D　解析：选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．
5.　解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C与平面ABCD的交线为AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，所以EF为△DAC的中位线，所以EF＝AC.因为AB＝2，ABCD为正方形，所以AC＝2 ，所以EF＝.
图D93
6. cm2　解析：如图D93，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，所以E为DD1的中点，易求S△ACE＝ cm2.
7．①③④　解析：对于①，由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的局部始终呈棱柱状(四棱柱、三棱柱或五棱柱)，且BC为棱柱的一条侧棱，故①正确；对于②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，那么水面面积可能变大，也可能变小，故②不正确；③是正确的；④是正确的，由水的体积的不变性可证得．综上所述，正确命题的序号是①③④.
8．(1)证明：如图D94，连接B1C，交BC1于点O，连接OD.
∵四边形BCC1B1是平行四边形，
∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△ACB1的中位线．
∴OD∥AB1.
∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D.
(2)解：∵三棱柱ABC­A1B1C1，∴侧棱CC1∥AA1.
又∵AA1⊥底面ABC，∴侧棱CC1⊥平面ABC.
故CC1为三棱锥C1­BCD的高，A1A＝CC1＝2.
S△BCD＝S△ABC＝×＝.
∴V＝V＝CC1·S△BCD＝×2×＝1.
图D94 　　图D95
9．(1)证明：∵BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，∴GH∥BC.
同理，EF∥BC.∴GH∥EF.
(2)解：如图D95，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
∵PA＝PC，O是AC的中点，
∴PO⊥AC.同理，得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，
∴PO⊥平面ABCD.
又∵平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，
∴PO∥平面GEFH.
∵平面PBD∩平面GEFH＝GK，
∴PO∥GK.∴GK⊥平面ABCD.
又EF⊂平面ABCD，∴GK⊥EF.
∴GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4.
从而KB＝DB＝OB，即K是OB的中点．
又由PO∥GK，得GK＝PO.
∴G是PB的中点，且GH＝BC＝4.
由，得OB＝＝4 ，
PO＝＝＝6.
∴GK＝3.
故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.
第5讲　直线、平面垂直的判定与性质
1．B　2.D
3．B　解析：根据题意，分两步来判断：①当α∥β时，∵a⊥α，且α∥β，∴a⊥β，又∵b⊂β，∴a⊥b，那么a⊥b是α∥β的必要条件；②假设a⊥b，不一定有α∥β，当α∩β＝a时，又由a⊥α，那么a⊥b，但此时α∥β不成立，即a⊥b不是α∥β的充分条件，那么a⊥b是α∥β的必要不充分条件．
图D96
4．B　解析：如图D96，连接B1C，那么B1C∥A1D，∵A1D与BC1所成的角为，∴B1C⊥BC1，∴长方体ABCD­A1B1C1D1为正方体．取B1D1的中点M，连接C1M，BM，∴C1M⊥平面BB1D1D，∴∠C1BM为BC1与平面BB1D1D所成的角．∵AB＝BC＝2，∴C1M＝，BC1＝2 ，
∴sin∠C1BM＝＝.应选B.
5．C　解析：假设a，b，c换成平面α，β，γ，那么“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ〞是真命题；
假设a，b换成平面α，β，那么“α∥β，且c⊥α⇒c⊥β〞是真命题；
假设b，c换成平面β，γ，那么“a∥β，且a⊥γ⇒β⊥γ〞是真命题；
假设a，c换成平面α，γ，那么“b∥α，且α⊥γ⇒b⊥γ〞是假命题．
6．B　解析：方法一：取BC中点E，连接AE，A1E，
过点A作AF⊥A1E，垂足为F.
∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC.
∵AB＝AC，∴AE⊥BC.
∴BC⊥平面AEA1.∴BC⊥AF.
又AF⊥A1E，∴AF⊥平面A1BC.
∴AF的长即为所求点A到平面A1BC的距离．
∵AA1＝1，AE＝，∴AF＝.
方法二：V＝S△ABC·AA1＝××1＝.
又∵A1B＝A1C＝，
在△A1BE中，A1E＝＝2，
∴S＝×2×2＝2.
∴V＝×S·h＝h.
∴h＝.∴h＝.∴点A到平面A1BC的距离为.
图D97
7.　解析：因为在正三棱锥P­ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一局部(如图D97)，此正方体内接于球，正方体的对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点．球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P­ABC在平面ABC上的高．球的半径为，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥P­ABC在平面ABC上的高为，所以球心到截面ABC的距离为－＝.
8．(1)证明：由AB＝DB，BC＝BC，∠ABC＝∠DBC，
得△ABC≌△DBC(SAS)．∴AC＝DC.
又G为AD的中点，∴CG⊥AD.
∵AB＝BD，G为AD的中点，∴BG⊥AD.
又BG∩CG＝G，∴AD⊥平面BCG.
又EF∥AD，故EF⊥平面BCG.
图D98
(2)解：如图D98，在平面ABC内，过点A作AO⊥BC，交CB的延长线于点O.
∵平面ABC⊥平面BCD，
∴AO⊥平面BDC.
又G为AD的中点，
∴G到平面BCD的距离h＝AO.
在△AOB中，
AO＝AB·sin60°＝.∴h＝.
∴VD­BCG＝VG­BCD＝××h＝.
9．(1)证明：在三棱柱ABC­A1B1C1中，
BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB.
又∵AB⊥BC，且BB1∩BC＝B，∴AB⊥平面B1BCC1.
又AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明：如图D99，取AB中点为G，连接EG，FG.
图D99
∵E，F分别是A1C1，BC的中点，
∴FG∥AC，且FG＝AC.
∵AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
∴FG∥EC1，且FG＝EC1.
∴四边形FGEC1为平行四边形．
∴C1F∥EG.
又∵EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，
∴C1F∥平面ABE.
(3)解：∵AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
∴AB＝＝.
∴VE­ABC＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.
第6讲　空间坐标系与空间向量
1．D　
2．C　解析：cos〈a，b〉＝＝＝.
解得λ＝－2或.
3．D　解析：∵＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴||＝.
4．D
5．D　解析：∵M，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，且x＋y＋z＝1.∵＋＋＝0⇔＝－－，∴存在x＝－1，y＝－1，使＝x＋y，∴，，共面．∵M为公共点，∴M，A，B，C四点共面．
6．B
7．A　解析：＝－＝－
＝＋－
＝＋－.
∴||＝＝a.
8．(1)　(2)　解析：＝(1,1,0)，＝(－1,0，－1)，
(1)cos〈，〉＝＝＝－，
∴〈，〉＝.
(2)在方向上的投影＝＝＝.
9．90°　解析：∵·＝·(－)＝·－·＝||·||cos∠AOC－||·||·cos∠AOB＝||·||cos60°－||·||cos60°＝0.
∴⊥，∴〈，〉＝90°.
图D100
10．(1)证明：如图D100，连接BC1，交B1C于点O，连接AO.
因为侧面BB1C1C为菱形，
所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．
又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.
由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.
又B1O＝CO，故AC＝AB1.
(2)解：因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.
又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC(SSS)．
故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两垂直．
以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如下图的空间直角坐标系Oxyz.
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．
又OB＝1，那么OB1＝，OA＝.
故A，B(1,0,0)，B1，C.
＝，
＝＝，
1＝＝.
设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，那么
即
所以可取n＝(1，，)．
设m是平面A1B1C1的法向量，
那么
同理可取m＝(1，－，)．
那么cos〈n，m〉＝＝.
所以结合图形知，二面角A­A1B1­C1的余弦值为.
第7讲　空间中角与距离的计算
1．A　解析：设l与α所成的角为θ，那么sinθ＝|cos〈m，n〉|＝.∴θ＝30°.
2．D　3.D　4.C
5．B　解析：BB1与平面ACD1所成角即DD1 与平面ACD1所成角，即∠DD1O，其正切值是＝ .
6.　解析：过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.那么可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1.
∵＝＋＋，∴||2＝|(＋＋)|2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝2＋12＋2＋2(0＋0＋0)＝，∴||＝.
7.　解析：＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由n·＝0，n·＝0知，令x＝2，那么y＝1，z＝.
∴平面ABC的一个法向量为n＝.
又平面xOy的一个法向量为＝(0,0,3)．
∴所求二面角的余弦值cosθ＝＝＝.
故平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为.
8．(1)证明：如图D101，取AB中点为E，连接CE，A1B，A1E.
图D101
∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
∴△BAA1是正三角形．∴A1E⊥AB.
∵CA＝CB，∴CE⊥AB.
∵CE∩A1E＝E，∴AB⊥平面CEA1.
∴AB⊥A1C.
(2)解：由(1)知，EC⊥AB，EA1⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面AA1B1B＝AB，
∴EC⊥面AA1B1B.∴EC⊥EA1.
∴EA，EC，EA1两两相互垂直．
以E为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，||为单位长度，建立如图D102所示的空间直角坐标系Exyz，
图D102
由题设知，A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)，
那么＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
那么即可取n＝(，1，－1)．
∴cos〈n，〉＝＝－.
∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
9．解：(1)如图D103，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，
图D102
那么A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)．
∴＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)＝(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量．
设平面ADC1的法向量为m＝(x，y，z)，
∵＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，
且m⊥，m⊥，
∴取z＝1，得y＝－2，x＝2.
∴平面ADC1的法向量为m＝(2，－2,1)．
设平面ADC1与平面ABA1所成二面角为θ，
∴|cosθ|＝|cos〈，m〉|＝＝＝，
那么sinθ＝.
∴平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.