高优指导2021高考数学一轮复习考点规范练68不等式选讲理含解析北师大版.doc

考点规范练68　不等式选讲
　考点规范练B册第50页　 
基础巩固组
1.(2015河北唐山一模)已知函数f(x)=|2x-a|+|x+1|.
(1)当a=1时,解不等式f(x)<3;
(2)若f(x)的最小值为1,求a的值.
解:(1)因为f(x)=|2x-1|+|x+1|=
且f(1)=f(-1)=3.
所以f(x)<3的解集为{x|-1<x<1}.
(2)|2x-a|+|x+1|=+|x+1|++0=.
当且仅当(x+1)≤0且x-=0时,等号成立.
所以=1,解得a=-4或a=0.
2.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方,求m的取值范围.
解:函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方,
即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,
即|x-2|+|x+3|>m对任意实数x恒成立.
因为对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|
≥|(x-2)-(x+3)|=5,
所以m<5,即m的取值范围是(-∞,5).
3.(2015辽宁鞍山一模)设函数f(x)=x2-2x.
(1)解不等式|f(x)|+|x2+2x|≥6|x|;
(2)若实数a满足|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2|a|+3.
(1)解:原不等式|f(x)|+|x2+2x|≥6|x|可化为(|x-2|+|x+2|)|x|≥6|x|,解得x≤-3或x≥3或x=0.
∴原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥3或x=0}.
(2)证明:∵f(x)=x2-2x,|x-a|<1,
∴|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|
=|x-a||x+a-2|<|x+a-2|
=|(x-a)+2a-2|≤|x-a|+|2a-2|
<1+2|a|+2=2|a|+3,
∴|f(x)-f(a)|<2|a|+3.
4.若a>0,b>0,且.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
解:(1)由,得ab≥2,当且仅当a=b=时等号成立.
故a3+b3≥2≥4,当且仅当a=b=时等号成立.
所以a3+b3的最小值为4.
(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.
由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.
5.(2015河北石家庄高三质检二)已知f(x)=+3|x-a|.
(1)若a=1,求f(x)≥8的解集;
(2)对任意a∈(0,+∞),任意x∈R,f(x)≥m恒成立,求实数m的最大值.
解:(1)当a=1时,由f(x)≥8得|3x+1|+3|x-1|≥8,
①当x≤-时,-(3x+1)-3(x-1)≥8,x≤-1,
∴x≤-1;
②当-<x<1时,3x+1-3(x-1)≥8,无解;
③当x≥1时,3x+1+3(x-1)≥8,∴x≥.
综上所述,f(x)≥8的解集为(-∞,-1]∪.
(2)f(x)=+3|x-a|
≥
=≥2≥m.
当且仅当=3a,即a=时,等号成立,
所以m的最大值为2.〚导学号92950918〛
6.已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c大于0,且=m,求证:a+2b+3c≥9.
(1)解:∵f(x+2)=m-|x|,
∴f(x+2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解,得m≥0且其解集为{x|-m≤x≤m}.
又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.
(2)证明:由(1)知=1,且a,b,c大于0,由柯西不等式知:a+2b+3c=(a+2b+3c)=9,
当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c≥9.
7.(2015辽宁葫芦岛二模)已知f(x)=|2x-1|+ax-5(a是常数,a∈R).
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集.
(2)如果函数y=f(x)恰有两个不同的零点,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|2x-1|+x-5=
由解得x≥2;
由解得x≤-4.
∴f(x)≥0的解集为{x|x≥2,或x≤-4}.
(2)由f(x)=0得|2x-1|=-ax+5.

作出y=|2x-1|和y=-ax+5的图像,观察可以知道,当-2<a<2时,这两个函数的图像有两个不同的交点,
函数y=f(x)有两个不同的零点.
故a的取值范围是(-2,2).〚导学号92950919〛
能力提升组
8.(2015江西赣州高三摸底考试)设函数f(x)=|x|+|2x-a|.
(1)当a=1时,解不等式f(x)≤1;
(2)若不等式f(x)≥a2对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=
根据图像易得f(x)≤1的解集为.

(2)当a=0时显然成立,当a≠0时,令x=ka(k∈R),
由f(x)≥a2对任意x∈R恒成立等价于|k|+|2k-1|≥|a|对任意k∈R恒成立,
由(1)知|k|+|2k-1|的最小值为,
所以|a|≤,即-≤a≤且a≠0.
综上,实数a的取值范围为-≤a≤.〚导学号92950920〛
9.已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求的最大值.
解:∵(12+12+12)[()2+()2+()2]
≥(1·+1·+1·)2,
∴()2≤3[3(a+b+c)+3].
又∵a+b+c=1,
∴()2≤18,
∴≤3.
当且仅当时,等号成立.
∴()max=3.
10.(2015河北石家庄一模)已知函数f(x)=的定义域为R.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若m的最大值为n,当正数a,b满足=n时,求7a+4b的最小值.
解:(1)因为函数f(x)的定义域为R,
所以|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立.
设函数g(x)=|x+1|+|x-3|,则m不大于函数g(x)的最小值.
又|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4,
即g(x)的最小值为4,所以m≤4.
(2)由(1)知n=4,
所以7a+4b=
=
=.
当且仅当a+2b=3a+b,
即b=2a=时,等号成立.
所以7a+4b的最小值为.〚导学号92950921〛

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