高优指导2021高考数学一轮复习考点规范练43点与直线两条直线的位置关系理含解析北师大版.doc

考点规范练43　点与直线、两条直线的位置关系
　考点规范练A册第32页　 
基础巩固组
1.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是(　　)

A.1 B.2 C. D.4
答案:B
解析:由直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行可得,则m=8,直线6x+8y+14=0可化为3x+4y+7=0.
故d==2.
2.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)
A.3 B.2 C.3 D.4〚导学号92950534〛
答案:A
解析:依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为=3.
3.若向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则直线y=kx+b必经过定点(　　)
A.(1,-2) B.(1,2)
C.(-1,2) D.(-1,-2)
答案:A
解析:因为向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则k+2=-b,即b=-2-k,于是直线方程化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).
4.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,D点在直线3x-y+1=0上移动,则B点的轨迹方程为(　　)
A.3x-y-20=0 B.3x-y-10=0
C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0
答案:A
解析:设AC的中点为O,则O.
设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),
即D(x0,y0),则
由3x0-y0+1=0得3x-y-20=0.
5.

如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是(　　)
A.2 B.6
C.3 D.2
答案:A
解析:易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2),点P关于y轴对称的点为A2(-2,0),则光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(-2,0)两点间的距离.于是|A1A2|==2.
6.已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=　　　　　. 
答案:-2
解析:l的斜率为-1,则l1的斜率为1,kAB==1,∴a=0.
由l1∥l2,得-=1,b=-2,∴a+b=-2.
7.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是　　　　　.〚导学号92950535〛 
答案:
解析:由题意得线段AB的中点为,
故解得k=-,b=,
所以直线方程为y=-x+.
令y=0,即-x+=0,解得x=,
故直线y=kx+b在x轴上的截距为.
8.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是　　　　　. 
答案:5
解析:易知A(0,0),B(1,3)且两直线互相垂直,即△APB为直角三角形,∴|PA|·|PB|≤=5,当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立.
9.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时,l1与l2:
(1)相交?
(2)平行?
(3)垂直?
解:(1)当m=-5时,显然l1与l2相交但不垂直;
当m≠-5时,两直线l1和l2的斜率分别为k1=-,k2=-,它们在y轴上的截距分别为b1=,b2=.
由k1≠k2,得-≠-,
即m≠-7且m≠-1.
则当m≠-7且m≠-1时,l1与l2相交.
(2)由得m=-7.
则当m=-7时,l1与l2平行.
(3)由k1k2=-1,得=-1,m=-.
则当m=-时,l1与l2垂直.〚导学号92950536〛
10.过点P(3,0)作一直线l,使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截的线段AB以P为中点,求此直线l的方程.
解:设直线l的方程为y=k(x-3),将此方程分别与l1,l2的方程联立,得
解得xA=和xB=,
∵P(3,0)是线段AB的中点,
由xA+xB=6,得=6,解得k=8.
故直线l的方程为y=8(x-3),
即8x-y-24=0.
能力提升组
11.点P到点A'(1,0)和直线x=-1的距离相等,且P到直线y=x的距离等于,这样的点P共有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:C
解析:设P(x,y),
由题意知=|x+1|且,
所以①或②
解得①有两根,②有一根.
12.已知M=,N={(x,y)|ax+2y+a=0},且M∩N=⌀,则a=(　　)
A.-6或-2 B.-6
C.2或-6 D.-2
答案:A
解析:集合M表示去掉一点A(2,3)的直线3x-y-3=0,集合N表示恒过定点B(-1,0)的直线ax+2y+a=0,因为M∩N=⌀,所以两直线要么平行,要么直线ax+2y+a=0与直线3x-y-3=0相交于点A(2,3).
因此=3或2a+6+a=0,即a=-6或a=-2.
13.已知曲线=1与直线y=2x+m有两个交点,则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,-4)∪(4,+∞)
B.(-4,4)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-3,3)〚导学号92950537〛
答案:A
解析:曲线=1的草图如图所示.由该曲线与直线y=2x+m有两个交点,可得m>4或m<-4.

14.已知l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,则直线l1的方程是　　　　　　　　　　　　　　.〚导学号92950538〛 
答案:x+2y-3=0
解析:当直线AB与l1,l2垂直时,l1,l2间的距离最大.
因为A(1,1),B(0,-1),所以kAB==2,
所以两平行直线的斜率为k=-,
所以直线l1的方程是y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.
15.已知三条直线:l1:2x-y+a=0(a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0,且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:
①点P在第一象限;
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.
若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.
解:(1)直线l2:2x-y-=0,所以两条平行线l1与l2间的距离为d=,
所以,即,
又a>0,解得a=3.
(2)假设存在点P,设点P(x0,y0).若P点满足条件②,
则P点在与l1,l2平行的直线l':2x-y+c=0上,且,即c=,
所以2x0-y0+=0或2x0-y0+=0;
若P点满足条件③,由点到直线的距离公式,
有,
即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,
所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0;
由于点P在第一象限,所以3x0+2=0不可能.
联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,
解得(舍去);
联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得
所以存在点P同时满足三个条件.〚导学号92950539〛

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