2022-2022学年高中数学人教A版必修4学案：3.1.1-两角差的余弦公式-Word版含解析.doc

3.1.1　两角差的余弦公式

考试标准

课标要点
学考要求
高考要求
两角差的余弦公式
b
b
两角差的正弦公式及两角和的正弦、余弦公式
c
c
两角和与差的正切公式
c
c
知识导图

学法指导
本节内容公式较多，需要在理解的基础上进行记忆；试题灵活多样、技巧性强，要多练多总结，如角度之间的联系、公式的逆用及变形应用等都需要总结.

两角差的余弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差
的余弦
C(α－β)
cos(α－β)＝
cos_αcos_β＋sin_αsin_β
α，β为任意角
　对两角差的余弦公式的记忆和理解
(1)公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．
(2)注意事项：不要误记为cos(α－β)＝cosα－cosβ或cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角．
(3)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角：β＝(α＋β)－α，β＝－等．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.(　　)
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　　)
(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(　　)
(4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．cos(30°－45°)等于(　　)
A.　　　　B.
C. D.
解析：cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝.
答案：D
3．cos 45°·cos 15°＋sin 45°·sin 15°等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：原式＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.
答案：B
4．已知cos α＝，α∈，则cos＝________.
解析：因为cos α＝，α∈，
所以sin α＝＝＝.
所以cos＝cos α cos＋sin α
sin＝×＋×＝.
答案：

类型一　运用公式化简求值
例1　化简求值：
(1)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°；
(2)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.
【解析】　(1)原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°＝cos(63°－33°)＝cos 30°＝.
(2)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.
(1)由117 °＝180 °－63 °，57 °＝90 °－33 °，利用诱导公式化成同角．
(2)利用公式求值．

方法归纳
两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
跟踪训练1　求值：
(1)cos 15°＝________；
(2)cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝________.
解析：(1)cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
(2)原式＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.
答案：(1)　(2)
(1)15 °＝45 °－30 °.
(2)利用公式求值．
类型二　给值求值问题
例2　已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．
【解析】　因为α，β∈，
所以0<α＋β<π，
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝，
又sin α＝，所以cos α＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.
β看成是β＝(α＋β)－α，从已知条件中求出(α＋β)与α的正、余弦的值，然后运用差角的余弦公式．
方法归纳
给值求值的解题策略
(1)利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式．
(2)常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝(α＋2β)－β，α＋β＝－等．

跟踪训练2　若把本例2中“α，β∈”改为“α，β∈”，求cos β的值．
解析：因为α，β∈，
所以π<α＋β<2π，
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝－，
又sin α＝，所以cos α＝－，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝－.
由α，β∈，得α＋β∈(π，2π)，由已知求α＋β，α的正(余)弦值再利用公式求值．
类型三　由三角函数值求角
例3　已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且0<β<α<，求β的值．
【解析】　因为0<β<α<，
所以0<α＋β<π，
由cos α＝，cos(α＋β)＝－，
得sin α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.
又β∈
所以β＝.
要求β，因为0<β<所以先求cosβ，又cosβ＝cos[(α＋β)－α]再利用公式求值．

方法归纳
(1)要求角需先求这个角的三角函数值，然后根据范围得出角的值．
(2)已知一个角的正弦值(余弦值)求余弦值(正弦值)时，要根据角的范围确定其符号．
跟踪训练3　已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________.
解析：因为α，β均为锐角，
所以cos α＝，cos β＝.
所以cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝×＋×＝.
又因为sin α>sin β，所以0<β<α<，
所以0<α－β<，故α－β＝.
答案：
由sinα，sinβ求cosα，cosβ，再利用公式先求cos(α－β)的值，再求α－β的范围，最后求α－β的值．

[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于(　　)
A．cos 100° B．sin 100°
C. D.
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝.故选C.
答案：C
2．coscos＋cossin的值是(　　)
A．0 B.
C. D.
解析：和不是特殊角，但＋＝，所以本题可利用角的互余关系转化函数名，逆用Cα－β求值．
coscos＋cossin＝coscos＋sinsin＝cos＝cos＝.
答案：C
3．sin α＝，α∈，则cos的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：由条件可得cos α＝－，
∴cos＝cos α＋sin α
＝(cos α＋sin α)＝＝－，
故选B.
答案：B
4．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos A，sin A)，b＝(cos B，sin B)且a·b＝1，则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：因为a·b＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B)＝1，且A，B，C是三角形的内角，所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形．故选B.
答案：B
5．设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则cos β等于(　　)
A. B．－
C.或－ D.或
解析：因为α，β都是锐角，且cos α＝，
sin(α－β)＝，
所以sin α＝＝；
同理可得cos(α－β)＝，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．求值：cos 15°cos 105°－sin 15°sin 105°＝________.
解析：原式＝cos(15°＋105°)＝cos 120°＝－.
答案：－
7．计算：cos 555°＝________.
解析：cos 555°＝cos(720°－165°)＝cos 165°
＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)
＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45° sin 30°)
＝－
＝－.
答案：－
8．已知sin α＝，α∈，则cos的值为________．
解析：∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－＝－＝－，
∴cos＝coscos α＋sinsin α
＝×＋×＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．计算下列各式的值：
(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°；
(2)coscos θ＋sinsin θ.
解析：(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°
＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝.
(2)coscos θ＋sinsin θ
＝cos＝cos＝.
10．已知cos＋sin α＝，求cos的值．
解析：因为cos＋sin α＝cos α＋sin α＝，
所以cos α＋sin α＝，
所以cos＝cos α＋sin α＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：因为0<α<，－<β<0，
所以<α＋<，<－<.
又因为cos＝，
cos＝，
所以sin＝，sin＝，
所以cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
答案：C
12．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.
解析：原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝.
答案：
13．已知sin＝，且π<α<π，求cos α的值．
解析：因为π<α<π，所以π<α＋<2π，
所以cos>0，
所以cos＝ ＝＝，
所以cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.
14．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
解析：由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝＝，
由0<β<α<，得0<α－β<.
又因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)得
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，又β∈，所以β＝.