2019_2020学年八年级数学上册第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质同步练习含解析新版新人教版.docx

第十二章 全等三角形
第三节 角的平分线的性质
一、单选题（共10小题）
1．（2019·湖南中考真题）如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于( )

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【详解】如图，过点D作于E，

，，
，
，BD平分，
，
即点D到AB的距离为2，
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
2．（2019·成都市武侯区西蜀实验学校初一期末）如图，在中，,,是的一条角平分线.若，则的面积为( )

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】要求△ABD的面积，现有AB=10可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．
【详解】解：如图，作DE⊥AB于E，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3．
∴△ABD的面积为×3×10=15．
故选：D．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握是解题的关键.
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△EDB的周长是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】先证出Rt△ACD≌Rt△AED，推出AE=AC，△DBE的周长=DE+EB+DE=AB，即可求解．
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠AED=90°，CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中

∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=AC，
∴△DBE的周长
=DE+EB+DE
=CD+DB+EB
=BC+EB
=AC+EB
=AE+EB
=AB
=10，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，能求出AE=AC，CD=DE是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
4．如图，是的平分线，,交于点,交于点。若,则的度数是（ ）

A．25° B．27.5° C．22.5° D．55°
【答案】B
【解析】由,可求∠AOB=55°,由是的平分线，可求∠BOD= 27.5°,然后根据两直线平行内错角相等可得∠CDO=27.5°.
【详解】
∵,
∴∠AOB=,
∵是的平分线，
∴∠BOD=∠AOB= 27.5°,
∴∠CDO=27.5°.
故选B.
【点睛】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.也考查了角平分线的定义.
5．如图，直线、相交于点,,平分若，则的度数是（ ）

A．63° B．62° C．56° D．59°
【答案】D
【解析】首先根据，得到∠DGE=90°，然后求出∠BGD的度数，根据平角定义求得∠AGD的度数，最后根据角平分线定义即可解答.
【详解】∵，
∴∠DGE=90°，
∵，
∴∠BGD=62°,
∴∠AGD=118°.
∵平分,
∴=∠AGD=59°.
故选D.
【点睛】本题综合考查了直角，平角的定义，角平分线的定义以及角的运算，熟练掌握相关定义是解答此类题目的基础.根据题意，求得∠BGD的度数是解题的关键.
6．如图，AD是∠EAC的平分线，，∠B=30°，则∠C为　　

A．30° B．60° C．80° D．120°
【答案】A
【解析】由AD//BC，∠B=30°利用平行线的性质即可得出∠EAD的度数，再根据角平分线的定义即可求出∠EAC的度数，得出∠EAC=∠B+∠C，代入数据即可得出结
【详解】解：∵AD//BC，∠B=30°，
∴∠EAD=∠B=30°.
又∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAC=2∠EAD=60°.
∵∠EAC=∠B+∠C，
∴∠C=∠EAC-∠B=30°.
故选：A.
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题的关键是求出∠EAC=60°.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等或互补的角是关键.
7．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠AOE，∠BOC=50°，则∠EOB=（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解析】由对顶角的性质求出∠AOD，根据角平分线的性质得到∠AOE，然后根据邻补角的性质求出∠EOB.
【详解】解：∵∠BOC=50°，∴∠AOD=50°，
∴∠AOE=100°，∠EOB=180°-100°=80°，
故选D.
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义以及角平分线的定义，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．
8．（2018·广东省湛江市第二十三中学初一期末）已知射线OC在∠AOB内部，下列说法不能确定射线OC是∠AOB的平分线的是( )
A．∠AOC+∠BOC＝∠AOB B．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC
【答案】A
【解析】根据角平分线的定义（从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线）即可求解．
【详解】OC在的时部时都有，但不能说明OC是的平分线，故选项A错误；
当时，OC在的内部时，OC是的平分线，故选项B正确；
当时，OC在的内部时，OC是的平分线，故选项C正确；
当时，OC在的内部时，OC是的平分线，故选项D正确；
故答案选A．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，正确理解角平分线的定义是解题的关键．
9．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　　）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【解析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：C．
【点睛】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为D．
10．（2018·湖北省十堰市东风教育分局第四中学初一期末）如图∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠AOF＝∠AOB＝90°，下列说法正确的是（　　）

A．射线OC是∠DOF的平分线 B．∠4是∠AOC的余角
C．∠2的余角是∠EOF D．∠3的补角是∠BOD
【答案】B
【解析】根据角平分线的定义和余角的定义即可得到结论．
【详解】
∵∠AOF∠AOB=90°，∴∠AOC+∠3=90°．
∵∠3=∠4，∴∠AOC+∠4=90°，∴∠4是∠AOC的余角．
故选B．
【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
提升篇

二、填空题（共5小题）
11．（2019·湖北中考真题）如图，直线，直线分别与相交于点、点，平分，已知，则的度数为_____．

【答案】
【解析】依据平行线的性质，即可得到∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠DAC的度数．
【详解】解：，
，
又平分，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义．解题关键在于，两直线平行，同旁内角互补．
12．（2018·四川中考真题）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．

【答案】24
【解析】根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.
【详解】∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
【点睛】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算.
13．（2019·乐清育英学校初中分校初一期中）如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，则∠EDC的度数为___．

【答案】40°.
【解析】根据平行线的性质求出∠ACB，根据角平分线定义求出∠BCD，再根据平行线的性质即可求解.
【详解】∵DE∥BC，∠AED=80°，
∴∠ACB=∠AED=80°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=12∠ACB=40°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD=40°
故答案为：40°
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线定义的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中．
14．（2018·北京师大附中初二期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝_____ cm．

【答案】8．
【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△BCD和Rt△BED全等，根据全等三角形对应边相等可得BC=BE，然后求出△ADE的周长=AB．
【详解】∵∠C=90∘，BD平分∠CBA，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
∵BD=BDCD=ED
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，
∴BC=BE，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AD+CD=AE+AC=AE+BC=AE+BE=AB，
∵△ADE的周长为8cm，
∴AB=8cm.
故答案为：8cm.
【点睛】本题考查了角平分线的性质和等腰直角三角形，熟练掌握这两个知识点是本题解题的关键.
15．（2019·哈尔滨风华中学初一期中）如图，CE平分∠ACD，∠A=40°，∠B=30°，∠D=104°，则∠BEC=____.

【答案】57°；
【解析】根据四边形外角的性质和角平分线的性质，再结合题意，即可得到答案.
【详解】根据四边形外角的性质可得∠D =∠A+∠B+∠DCA，∠D =∠BEC+∠B+∠ECD，
则∠DCA =∠D-（∠A+∠B）=34°，
因为CE平分∠ACD，
所以∠ECD=，
所以∠BEC=∠D-（∠B+∠ECD）=57°.
故答案为57°.
【点睛】本题考查四边形外角的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握四边形外角的性质和角平分线的性质.

三、解答题（共2小题）
16．（2018·河北中考模拟）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．

【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：由题意可证△ABD≌△CBD（SAS），即可得BD是∠ADC的平分线，由角平分线的性质可得PM=PN.
试题解析：在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），
∠ABD=∠CBD（角平分线的性质），
BD=BD（公共边），
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；
即BD是∠ADC的平分线
又∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN（角平分线的性质）．
考点：三角形全等的判定和性质，角平分线的性质.
17．（2019·四川省巴中中学初二期中）如图，四边形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，点E在CD上，AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，若AD＝4，AB＝6，求CB的长。

【答案】2.
【解析】过点E作EF⊥AB于点F，根据角平分线的性质可知DE=EF，EF=CE，根据AAS定理可得△ADE≌△AFE，故AD=AF=4，求出BF的长，同理可得△BCE≌△BFE，故可得出BC=BF，由此得出结论．
【详解】解：过点E作EF⊥AB于点F，

∵AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，
∴∠DAE=∠FAE，∠CBE=∠FBE，
在△ADE与△AEF中，
，
∴△ADE≌△AFE（AAS），
∴AD＝AF＝4，
∴BF＝AB﹣AF＝6﹣4＝2．
同理可得△BCE≌△BFE，
∴BC＝BF＝2．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．

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