2022-2022学年高中数学课后作业22均匀随机数的产生新人教A版必修.doc

课后作业(二十二)
(时间45分钟)
学业水平合格练(时间25分钟)
1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，那么(　　)
A．m>n B．m<n
C．m＝n D．m是n的近似值
[解析]　随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．
[答案]　D
2．某公司的班车在7∶00,8∶00,8∶30发车，小明在7∶50至8∶30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)
A. B. C. D.
[解析]　设小明到达发车站的时间为y，当y在7∶50至8∶00，或8∶20至8∶30时，小明等车时间不超过10分钟，故P＝＝.应选B.
[答案]　B
3．欧阳修?卖油翁?中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元〞，卖油翁的技艺让人叹为观止．假设铜钱是直径为1.5 cm的圆，中间有边长为0.5 cm的正方形孔，假设你随机向铜钱上滴一滴油，那么油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为(　　)
A. B. C. D.
[解析]　由题意知所求的概率为P＝＝.
[答案]　A
4．设一直角三角形两直角边的长均是区间[0,1]上的随机数，那么斜边的长小于1的概率为(　　)
A. B. C. D.
[解析]　设两直角边分别为x，y，那么x，y满足x∈[0,1]，y∈[0,1]，那么P(x2＋y2＜1)＝.
[答案]　C
5．如下图，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A＝{投中大圆内}，
事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，
事件C＝{投中大圆之外}．
(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RNAD.
(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数．
(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2＋b2<36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4<a2＋b2<16的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数N(即满足上述－8<a<8，－8<b<8的点(a，b)的个数)．
那么概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值分别是(　　)
A.，， B.，，
C.，， D.，，
[解析]　P(A)的近似值为，P(B)的近似值为，P(C)的近似值为.
[答案]　A
6．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，用计算器上的随机函数产生一个[－5,5]上的随机数x0，那么使f(x0)≤0的概率为(　　)
A．0.1 B. C．0.3 D．0.4
[解析]　用计算器产生的x0∈[－5,5]，其区间长度为10.使f(x0)≤0，即x－x0－2≤0，得－1≤x0≤2，其区间长度为3，所以使f(x0)≤0的概率为＝0.3.
[答案]　C
7．用随机模拟方法，近似计算由曲线y＝x2及直线y＝1所围成局部的面积S.利用计算机产生N组数，每组数由区间[0,1]上的两个均匀随机数a1＝RAND，b＝RAND组成，然后对a1进行变换a＝2(a1－0.5)，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足x≤yi≤1(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得到的近似值为(　　)
A. B. C. D.
[解析]　由题意，对a1进行变换a＝2(a1－0.5)，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足x≤yi≤1(i＝1,2，…，N)的点数N1，所以由随机模拟方法可得到的近似值为.
[答案]　B
8．b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝3(b1－2)，那么b是区间________上的均匀随机数．
[解析]　0≤b1≤1，那么函数b＝3(b1－2)的值域是－6≤b≤－3，即b是区间[－6，－3]上的均匀随机数．
[答案]　[－6，－3]
9．利用随机模拟方法计算如图中阴影局部(曲线y＝2x与x轴，x＝±1围成的局部)的面积．
[解]　①利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
②经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)×2，b＝b1×2，得到一组[－1,1]上的均匀随机数和一组[0,2]上的均匀随机数．
③统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1.
④计算频率 ，即为点落在阴影局部的概率的近似值．
⑤用几何概型的概率公式求得点落在阴影局部的概率为P＝，＝，所以S≈，即为阴影局部的面积值．
10．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计以下事件的概率：
(1)小燕比小明先到校；
(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．
[解]　记事件A“小燕比小明先到校〞；记事件B“小燕比小明先到校且小明比小军先到校〞．
①利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a＝RAND，b＝RAND，c＝RAND分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；
②统计出试验总次数N及其中满足b<c的次数N1，满足b<c<a的次数N2；
③计算频率fn(A)＝，fn(B)＝，即分别为事件A，B的概率的近似值．
应试能力等级练(时间20分钟)
11．P为圆C1：x2＋y2＝9上任意一点，Q为圆C2：x2＋y2＝25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，那么该点落在区域M上的概率为(　　)
A. B. C. D.
[解析]　设Q(x0，y0)，中点(x，y)，那么P(2x－x0,2y－y0)，代入x2＋y2＝9，得(2x－x0)2＋(2y－y0)2＝9，化简得2＋2＝，故中点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，又点Q(x0，y0)在圆x2＋y2＝25上，所以区域M为在以原点为圆心、宽度为3的圆环带，即应有x2＋y2＝r2(1≤r≤4)，所以在C2内部任取一点落在M内的概率为＝.
[答案]　B
12．在利用随机模拟法计算如右图阴影局部(曲线y＝x与x轴，x＝±1围成的局部)的面积时，需要经过伸缩变换得到哪两个区间上的均匀随机数(　　)
A．[－1,1][0,1]
B．[－1,1]，[0,2]
C．[0,1]，[0,2]
D．[0,1]，[0,1]
[解析]　用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用变换rad()*2产生0～2之间的均匀随机数y表示所投点的纵坐标．
应选B.
[答案]　B
13．设函数y＝f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f(x)及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成局部的面积S.先产生两组(每组N个)0～1区间上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为________．
[解析]　由0≤f(x)≤1可知曲线y＝f(x)与直线x＝0，x＝1，y＝0围成了一个曲边图形．
因为产生的随机数对在题图的正方形内，正方形的面积为1，共有N对数，即有N个点，且满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的有N1个点，即在函数f(x)图象上及下方有N1个点，所以由几何概型的求概率公式得：曲线y＝f(x)与x＝0，x＝1，y＝0围成的面积的近似值为×1＝.
[答案]　
14．某校早上8∶00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7∶30～7∶50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，那么小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)
[解析]　
设小王到校时间为x，小张到校时间为y，那么小张比小王至少早到5分钟时满足x－y≥5.如图，原点O表示7∶30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影局部)的面积为×15×15＝，故所求概率为P＝＝.
[答案]　
15．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．
(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4 h，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；
(2)如果甲船的停泊时间为4 h，乙船的停泊时间为2 h，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．
[解]　(1)设甲、乙两船到达时间分别为x，y，
那么0≤x≤24,0≤y≤24，|y－x|≥4，
分别作出区域D1，D2，
其中D1：D2：
D1为正方形区域，D2为图(1)中的阴影局部，设“两船不需要等待码头空出〞为事件A，
那么P(A)＝＝.
(2)设“两船不需等待码头空出〞为事件B，那么区域D3：y－x>4或x－y>2为如图(2)所示的阴影局部，
那么P(B)＝＝.