2022-2022学年高中数学第一章立体几何初步章末综合检测一新人教B版必修2.doc

章末综合检测(一)
[学生用书P101(单独成册)]
(时间：120分钟，总分值：150分)
一、选择题：此题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．以下命题中，正确的选项是(　　)
A．经过不同的三点有且只有一个平面
B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D．垂直于同一个平面的两个平面平行
解析：选C．A中，可能有无数个平面；B中，两条直线还可能平行，相交；D中，两个平面可能相交．
2．以下几何体是柱体的是(　　)
解析：选B．A中的侧棱不平行，所以A不是柱体，C是圆锥，D是球体，B是棱柱．
3．圆锥的底面半径是3，高是4，那么它的侧面积是(　　)
A．　　　　　　　　 B．12π
C．15π D．30π
解析：选C．圆锥的母线长是＝5，所以侧面积是π×3×5＝15π．
4．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
解析：选C．因为BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，所以BA⊥l．同理BC⊥l．又BA∩BC＝B，所以l⊥平面ABC．因为AC⊂平面ABC，所以l⊥AC．
5．假设直线l不平行于平面α，且l⊄α，那么(　　)
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析：选B．由题意可得直线l与平面α相交，如图：

具体分析
结论
A
α内的所有过交点的直线与l相交
错误
B
如果α内存在与l平行的直线，那么直线l与α平行，故直线不存在
正确
C
可得直线l与α平行，与题设不符
错误
D
α内的所有不过交点的直线与l异面
错误
6．水平放置的△ABC是按“斜二测画法〞得到如下图的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．三边中有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
解析：选A．依据斜二测画法的原那么可得，BC＝B′C′＝2，OA＝2×＝，所以AB＝AC＝2，故△ABC是等边三角形．
7．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S1和S2，那么(　　)
A．S1＝2S2 B．S1＝3S2
C．S1＝4S2 D．S1＝2S2
解析：选B．不妨设正方体的棱长为1，那么外接球直径为正方体的体对角线长为，而内切球直径为1，所以＝()2＝3，所以S1＝3S2．
8．a，b是不重合的直线，α、β、γ是两两不重合的平面，给出以下说法：
①假设a⊥α，b⊥β，那么α⊥β；②假设α⊥γ，β⊥γ，那么α∥β；③假设b⊥α，β⊥α，那么b∥β；④假设α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，那么a∥b．其中正确说法的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A．①中α与β可能相交不垂直，也可能平行；②中α与β可能相交；③中b可能在β内；④中符合面面平行的性质定理，正确．
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，那么B1H与平面AD1C的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．斜交 D．以上都不对
解析：选A．如图，连接BD，B1D，B1D1，那么平面DBB1D1⊥平面AD1C，平面DBB1D1∩平面AD1C＝D1O．因为B1H⊥D1O，所以B1H⊥平面AD1C．
10．平行六面体ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，那么对角面B1BDD1是(　　)
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：选D．AA1在面ABCD内的射影在底面的一条对角线上，因为AC⊥BD，所以AA1⊥BD，所以BB1⊥BD．
又因为∠BAD＝60°，所以BD＝AB＝BB1，
所以B1BDD1是正方形．
11．P是△ABC外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，那么△ABC的面积为(　　)
A． B．4
C． D．5
解析：选A．如图，作PD⊥AB于点D，连接CD．
因为PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，
所以PC⊥平面PAB，那么PC⊥AB，PC⊥PD，
又AB⊥PD，PC∩PD＝P，
所以AB⊥平面PCD，那么AB⊥CD．
在Rt△PAB中，PA＝1，PB＝2，那么AB＝，PD＝ ．在Rt△PCD中，PC＝3，
那么CD＝＝＝ ．
所以S△ABC＝AB·CD＝××＝．
12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是(　　)
A．96 B．16
C．24 D．48
解析：选D．由球的体积公式可得，球的半径R＝2．设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长为h，那么h＝2R＝4．在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有a×＝R＝2，解得a＝4．所以此三棱柱的体积V＝××(4)2×4＝48．
二、填空题：此题共4小题，每题5分．
13．直线b∥平面α，平面α∥平面β，那么直线b与β的位置关系为　　　　．
答案：b∥β或b⊂β
14．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小　　　　．(填“变大〞“变小〞或“不变〞)　
解析：由于直线l垂直于平面ABC，所以l⊥BC，又∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，所以BC⊥平面APC，所以BC⊥PC，即∠PCB为直角，与点P的位置无关．
答案：不变
15．
如图，四面体P­ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，那么PC＝　　　　．
解析：
取AB的中点E，连接PE．
因为PA＝PB，
所以PE⊥AB．
又平面PAB⊥平面ABC，
所以PE⊥平面ABC．
连接CE，所以PE⊥CE．
∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，
所以AB＝2，PE＝＝，
CE＝＝，
PC＝＝7．
答案：7
16．如下图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当四边形A1B1C1D1满足条件　　　　　时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
解析：由直四棱柱可知CC1⊥平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1，要使得B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1．此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件．
答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题总分值10分)一个几何体的三视图如下图．主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的外表积．
解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为，所以V＝1×1×＝．
(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥面ABCD，CD⊥面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，该几何体的外表积S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2．
18．
(本小题总分值12分)在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且＝＝．
求证：(1)E，F，G，H四点共面；
(2)三条直线EF，GH，AC交于一点．
证明：(1)在△ABD中， E，H分别是AB和AD的中点，
所以EHBD．
在△CBD中，＝＝，
所以FGBD．
所以EH∥FG．
所以E，F，G，H四点共面．
(2)由第一问可知，EH∥FG，且EH≠FG，所以它们的延长线必相交于一点，设为点P．
因为AC是平面ABC和平面ADC的交线，EF⊂平面ABC，GH⊂平面ADC，而点P是平面ABC和平面ADC的公共点，
所以P∈AC．
所以三条直线EF，GH，AC交于一点．
19．
(本小题总分值12分)如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A＝AB＝2．
(1)求证：BC⊥平面A1AC；
(2)求三棱锥A1­ABC的体积的最大值．
解：(1)证明：因为C是底面圆周上异于A，B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，所以BC⊥AC，因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，
因为AA1∩AC＝A，AA1⊂平面AA1C，AC⊂平面AA1C，
所以BC⊥平面AA1C．
(2)设AC＝x，在Rt△ABC中，BC＝＝(0<x<2)，故VA1­ABC＝S△ABC·AA1＝×·AC·BC·AA1＝x×(0<x<2)，
即VA1­ABC＝x×＝ ＝ ．
因为0<x<2，0<x2<4，所以当x2＝2，
即x＝时，三棱锥A1­ABC的体积的最大值为．
20．(本小题总分值12分)
如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1．
证明：
(1)如图，连接SB，
因为E、G分别是BC、SC的中点，
所以EG∥SB．
又因为SB⊂平面BDD1B1，
EG⊄平面BDD1B1，
所以直线EG∥平面BDD1B1．
(2)连接SD，
因为F、G分别是DC、SC的中点，
所以FG∥SD．
又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，
所以FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，
FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
所以平面EFG∥平面BDD1B1．
21．(本小题总分值12分)如图，四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形．
(1)假设PD＝AD，E为PA的中点，求证：平面CDE⊥平面PAB；
(2)F是棱PC上的一点，CF＝CP，问线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面DFM？假设存在，指出点M在AC边上的位置，并加以证明；假设不存在，说明理由．
解：(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥CD．
又因为底面ABCD是矩形．所以CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD．
又PA⊂平面PAD，
所以CD⊥PA．
因为PD＝AD，E为PA的中点，
所以DE⊥PA．
CD∩DE＝D，
所以PA⊥平面CDE，又PA⊂平面PAB，
所以平面CDE⊥平面PAB．
(2)在线段AC上存在点M，使得PA∥平面DFM，此时点M为靠近C点的一个四等分点，证明如下：
连接AC，BD，设AC∩BD＝O，PC的中点为G，连接OG，那么PA∥OG，
在△PAC中，
因为CF＝CP，
所以F为CG的中点．
取OC的中点M，即CM＝OM，那么MF∥OG，所以MF∥PA．又PA⊄平面DFM，MF⊂平面DFM，
所以PA∥平面DFM．
22．(本小题总分值12分)一四棱锥P­ABCD的三视图如图，E是侧棱PC上的动点．
(1)求四棱锥P­ABCD的体积；
(2)假设点E为PC的中点，AC∩BD＝O，求证：EO∥平面PAD；
(3)是否不管点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．
解：(1)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P­ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2．
所以VP­ABCD＝S正方形ABCD·PC＝．
(2)证明：因为EO∥PA，EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD．
所以EO∥平面PAD．
(3)不管点E在何位置，都有BD⊥AE，
证明如下：连接AC，因为ABCD是正方形，
所以BD⊥AC，
因为PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥PC，
又因为AC∩PC＝C，所以BD⊥平面PAC，
因为不管点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，
所以不管点E在何位置，都有BD⊥AE．