2022-2022学年高中数学课时分层作业9等差数列的概念及简单的表示新人教A版必修5.doc

课时分层作业(九)　等差数列的概念及简单的表示
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14等于(　　)
A.45　　　B．41　　　C．39　　　D．37
B　[设公差为d，则d＝＝＝3，∴a1＝a2－d＝2，
∴a14＝a1＋13d＝2＋13×3＝41.]
2．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为(　　)
A.49 B．50 C．51 D．52
D　[∵an＋1－an＝，
∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)·＝2＋，
∴a101＝2＋＝52.]
3．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于(　　)
A.10 B．18 C．20 D．28
C　[设公差为d，则a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝2a1＋9d＝10.
∴3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋(a1＋6d)＝4a1＋18d＝20.]
4．数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a4为(　　)
A. B． C． D．
D　[法一：a1＝2，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.
法二：取倒数得＝＋3，
∴－＝3，∴是以为首项，3为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)·3
＝3n－＝，
∴an＝，∴a4＝.]
5．若lg 2，lg (2x－1)，lg (2x＋3)成等差数列，则x的值等于(　　)
A.0 B．log25 C．32 D．0或32
B　[依题意得2lg (2x－1)＝lg 2＋lg (2x＋3)，∴(2x－1)2＝2(2x＋3)，
∴(2x)2－4·2x－5＝0，
∴(2x－5)(2x＋1)＝0，
∴2x＝5或2x＝－1(舍)，∴x＝log25.]
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝ ．
13　[设公差为d，则a5－a2＝3d＝6，
∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.]
7．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝ ．
3n　[因为n≥2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.]
8．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝ ．
1　[法一：设数列{an}的公差为d，由题意知：解得
故an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
∴a10＝－2×10＋21＝1.
法二：∵an＝am＋(n－m)d，
∴d＝，
∴d＝＝＝－2，
a10＝a8＋2d＝5＋2×(－2)＝1.]
三、解答题
9．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
[解]　设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
由已知
解得
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所给数列的第45项．
10．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 015.
[解]　(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N*)，
∴＝＝＋，
∴－＝(n≥2且n∈N*)，
∴是等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝，
∴＝＝，
∴x2 015＝.
1．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是(　　)
A.　 B．　 C．　 D．
C　[设an＝－24＋(n－1)d，
由
解得<d≤3.]
2．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则(　　)
A.an＝3n B．an＝
C.an＝n－ D．an＝3n2
D　[∵点(，)在直线x－y－＝0上，
∴－＝，即数列{}是首项为，公差为的等差数列．
∴数列{}的通项公式为
＝＋(n－1)＝n，
∴an＝3n2.]
3．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝ ．
　[由a－a＝4，知数列{a}成等差数列，且a＝1，
∴a＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
又∵an>0，∴an＝.]
4．等差数列{an}中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为 ．
an＝38－5n(n∈N*)　[由题意可得
即
解得－<d<－，
又∵d∈Z，∴d＝－5，
∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n(n∈N*).]
5．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2, … )，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列 {an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1.
所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列 {an}不可能为等差数列，
证明如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，
得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，
a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ).
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，
解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，
a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
这与{an}为等差数列矛盾．所以，不存在λ使{an}是等差数列．
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