2017_2018学年高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大(小)值与导数课时达标训练新人教A版选修2_.doc

1.3.3 函数的最大(小)值与导数
课时达标训练
1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( )
A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值
【解析】选D. f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，当x∈(-1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值.
2.函数y＝2x3－3x2－12x＋5在［－2,1］上的最大值、最小值分别是( )
A.12，－8 B.1，－8 C.12，－15 D.5，－16
【解析】选A.y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.所以ymax＝12，ymin＝－8.
3.已知函数，若函数在区间 (其中a＞0)上存在最大值，则实数a的取值范围为( )

【解析】选B.因为,x＞0，所以.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0.
所以f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，所以函数f(x)在x=1处取得极大值.
因为函数f(x)在区间 (其中a＞0)上存在最大值，

4.(2017·济南模拟)若函数 (a∈R)，且在区间
上的最大值为，则实数a的值为 .
【解析】由已知得f′(x)=a(sin x+xcos x)
对于任意的x∈，有sin x+xcos x＞0，
当a=0时，，不符合题意，
当a＜0时,x∈，f′(x)＜0，从而f(x)在上单调递减，
所以f(x)在上的最大值为，不符合题意，
当a＞0时,x∈，f′(x)＞0，从而f(x)在上单调递增，
所以f(x)在上的最大值为，解得a=1.
答案：1
5.已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a).
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.
(2)求f(x)在区间［0,2］上的最大值.
【解析】(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，
所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，.
即a≤0时，f(x)在［0,2］上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
即a≥3时，f(x)在［0,2］上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
，即0<a<3时，
f(x)在上单调递减，在上单调递增，

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