2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案：1.2函数及其表示互动课堂学案-.doc

1.2 函数及其表示
互动课堂
疏导引导
1.2.1　函数的概念
1.函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域,显然值域是集合B的子集.
疑难疏引 函数概念的正确理解：
(1)关于函数的两个定义域实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点，而高中定义却是从集合、对应的观点出发.
(2)两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同，例如函数f(x)＝|x|，与f(x)＝x2是同一个函数.
(3)函数的核心是对应关系.在函数符号y＝f(x)中，f是表示函数的对应关系，等式y＝f(x)表明，对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.
函数符号y＝f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示，它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式，也可以是图象或数表.
（4）值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定.
2.函数的三要素
构成函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域B.
疑难疏引 核心是对应法则f，它是联系x和y的纽带，是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出，可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式，都必须是确定的，且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了，所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此，要确定一个函数，只要定义域与对应法则确定即可.
定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数.
3．区间的概念
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,b］.
（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b).
（3）满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为［a,b)、(a,b］.
疑难疏引 无穷大是个符号，不是一个数.关于用-∞、+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间．区间是数学中常用的术语和符号.必须记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其含义.
对于［a,b］，(a,b)，［a,b)，(a,b］，都称数a和数b为区间的端点：a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度.这样，某些以实数为元素的集合就有三种表示法：集合表示法、不等式表示法和区间表示法.
●案例1
下列各题中的两个函数表示同一个函数的是(　　)
A. f（x）＝x，g（x）＝
B. f（n）＝2n＋1（n∈Z），g（n）＝2n－1（n∈Z）
C. f（x）＝x－2，g（t）＝t－2
D. f（x）＝，g（x）＝1＋x
【探究】 两个函数相同必须有相同的定义域、值域和对应法则.A中两函数的值域不同；B中虽然定义域和值域都相同，但对应法则不同；C中尽管表示自变量的两个字母不同，但两个函数的三个要素是一致的，因此它们是同一函数；D中两函数的定义域不同.C符合.
【溯源】 给定两个函数，要判断它们是否是同一函数，主要看两个方面：一看定义域是否相同；二看对应法则是否一致.只有当两函数的定义域相同且对应法则完全一致时，两函数才可称为同一函数.
若判断两个函数不是同一个函数，只要三要素中有一者不同即可判断不是同一个函数.
4.函数的定义域
函数定义域是函数y=f(x)自变量x的取值范围.
疑难疏引 （1）定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如：y=x2(x∈R)与y=x2(x>0)；y=1与y=x0.
(2)若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围.
(3)常见函数定义域类型及求解策略：
如果给出具体解析式求定义域：一般首先分析解析式中含有哪几种运算，然后列出各运算对象的范围，组成不等式组，解不等式组，即得所求定义域.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合：
①解析式是整式的函数，其定义域为R；
②解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；
③解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合.
复合函数f［g(x)］的定义域和f(x)定义域互相转化，要注意定义域就是x的取值范围，并且前者中g(x)的取值范围等价于后者中x的取值范围.
如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域不仅是要使实际问题有意义，还必须是使思路分析式有意义的实数的集合.
●案例2
已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围.
【探究】 首先向不等式转化，在求m的取值范围时，由于m为二次项系数，∴要对其进行分类讨论；当x∈R时,mx2-6mx+m+8≥0恒成立.
当m=0时,x∈R.
当m≠0时，即
解之，得0<m≤1.故0≤m≤1.
【溯源】 由定义域是R求参数的取值范围问题，首先转化成含参不等式恒成立，然后利用数形结合等方法列出相关条件，尤其注意在含x2项问题中要对其系数进行讨论.
5.函数的解析式
疑难疏引
（1）在y=f(x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样.
（2）f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”.
（3）符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.
●案例3
已知函数f（x）=根据已知条件分别求出f（1），f（－3），f［f（－3）］，f｛f［f（－3）］｝的值.
【探究】 此函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系.
答案：f（1）=12=1；f（－3）=0；f［f（－3）］=f（0）=1；f｛f［f（－3）］｝=f［f（0）］=f（1）=12=1.
【溯源】 深刻理解复合函数的概念，注意选取的自变量和其要应用的解析式要对应，这类问题是历年高考的热点．
●案例4
已知函数f（x+1）=x2－1，x∈［－1，3］，求f（x）的表达式.
【探究】 函数是一类特殊的对应，已知函数f（x+1）=x2－1，即知道了x+1被法则“处理”的结果是x2－1，如果知道x2－1是怎样由x+1演变得出的，也就知道f（x）的表达式了.本题可用“配凑法”或“换元法”.
解法一：（配凑法）∵f（x+1）=x2－1=（x+1）2－2（x+1），
∴f（x）=x2－2x.
又当x∈［－1，3］时，（x+1）∈［0，4］，∴f（x）=x2－2x，x∈［0，4］.
解法二：（换元法）令x+1=t，则x=t－1，且由x∈［－1，3］知t∈［0，4］，
∴由f（x+1）=x2－1，得f（t）=（t－1）2－1=t2－2t，t∈［0，4］.
∴f（x）=（x－1）2－1=x2－2x，x∈［0，4］.
【溯源】 已知函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式一般有两种方法，一种是用配凑的方法，一种是用换元的方法.
所谓“配凑法”即把已知的f［g（x）］配凑成关于g（x）的表达式，而后将g（x）全用x取代，化简得要求的f（x）的表达式；
所谓“换元法”即令已知的f［g（x）］中的g（x）=t，由此解出x，即用t的表达式表示出x，后代入f［g（x）］，化简成最简式.
需要注意的是，无论是用“配凑法”还是用“换元法”，在求出f（x）的表达式后，都需要指出其定义域，而f（x）的定义域即x的取值范围应和已知条件f［g（x）］中g（x）的范围一致，所以说求f（x）的定义域就是求函数g（x）的值域.
●案例5
已知二次函数f（x）的图象过点A（1，1）、B（2，0）及点C（6，0），求f（x）的表达式.
【探究】 二次函数是我们熟悉的一种函数，其形式有：一般式f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R且a≠0）；交点式f（x）=a（x－x1）（x－x2）（a∈R且a≠0），其中x1、x2分别是f（x）的图象与x轴的两个交点的横坐标；顶点式f（x）=a（x－m）2+n（a∈R且a≠0），（m，n）是顶点坐标.无论哪种形式都有三个参数，所以可用待定系数法求解f（x），具体解法如下.
解法一：（待定系数法）由题意可设f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R且a≠0）.
∵f（x）的图象过点A（1，1）、B（2，0）及点C（6，0），
∴解得
∴f（x）=x2－x+.
解法二：（待定系数法）∵f（x）的图象过点B（2，0）及点C（6，0），∴f（x）的图象与x轴的两交点的横坐标分别是2和6.∴可设f（x）=a（x－2）（x－6），a∈R且a≠0.∵f（x）的图象过点A（1，1），∴1=a（1－2）（1－6）.解得a=.
∴f（x）=（x－2）（x－6），即f（x）=x2－x+.
解法三：（待定系数法）∵f（x）的图象过点B（2，0）及点C（6，0），∴f（x）的图象关于直线x=，即x=4对称.∴可设f（x）=a（x－4）2+m，其中a、m∈R且a≠0.又f（x）的图象过点A（1，1）、B（2，0），∴
∴解得
∴f（x）=（x－4）2－，即f（x）=x2－x+.
【溯源】 当知道了函数类型求解函数表达式时，一般用待定系数法.如求一次函数可设f（x）=kx+b，k、b为待定系数；求反比例函数可设f（x）=，k为待定系数.
6．函数的值域
基本函数的值域：
（1）正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R.
（2）反比例函数y=(k≠0)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞).
（3）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
当a>0时,值域为［,+∞);
当a<0时,值域为(-∞,］.
常见函数值域的求解类型和方法：
(1)配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.
(2)函数解析式中含有根式,并且根式内x的次数与根式外的x的次数相同,可用一个新的变量来替代根式,而根式外的x也可以用这个新的变量表示出来,这样就可将原函数表示成这个新变量的一个二次函数形.我们把这种求函数值域的方法叫做“换元法”，形如y=ax+d±(ab≠0)的函数均可用“换元法”求值域.需要注意的是换元后的变量的取值范围.
(3)形如y=(c≠0,bc≠ad)可以将其分解成一个常数与一个分式的和或差的形式,并且分式的变量x只在分母中,又因为反比例函数y=及其相应的形式y=的值域为{y|y≠0},所以这种函数的值域就是不等于此常数的所有实数.我们通常称这种求值域的方法为“分离常数法”.
(4)形如y=(a1、a2不同时为零)的函数,可把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得原函数的值域.注意事项:函数定义域应为R(或有有限个断点)，分子、分母没有公因式.
●案例6
在求解下列函数的值域后，你能有什么启发吗？
（1）y=x2+4x-2,x∈R;
（2）y=x2+4x-2,x∈［-5,0］;
（3）y=x2+4x-2,x∈［-6,-3］;
（4）y=x2+4x-2,x∈［0,2］.
【探究】 这些函数都是二次函数且解析式都相同,但是各自函数的定义域都是不同的,应该通过“配方”借助于函数的图象来求其函数.
（1）配方,得y=(x+2)2-6,由于x∈R,故当x=-2时,y min=-6,无最大值,所以值域是［-6,+∞).
（2）配方,得y=(x+2)2-6,因为x∈［-5,0］,所以当x=-2时,y min=-6,当x=-5时,ymax=3.
故函数的值域是［-6,3］.
（3）配方,得y=(x+2)2-6,因为x∈［-6,-3］,
所以当x=-3时,y min=-5,当x=-6时,y max=10.
故函数的值域是［-5,10］.
（4）配方,得y=(x+2)2-6,
因为x∈［0,2］,所以当x=0时,y min=-2;
当x=2时,y max=10.
故函数的值域是［-2,10］.
【溯源】 上述四个题目相同但所给的区间不同,最后得到的值域也不同,主要是由于二次函数在不同区间上的单调性不同而产生的,因此在求二次函数值域时一定要考虑函数是针对哪一个区间上的值域和此时图象是什么样子.
1.2.2　函数的表示法
1.函数的表示方法
主要有三种常用的表示方法，即解析法、列表法和图象法．
（1）解析法：把一个函数用一个式子表示，这种表示函数的方法叫做解析法.
（2）列表法：把两个变量的一系列对应值列成一个表，这种表示方法叫做列表法.
（3）图象法：把两个变量之间的关系用图象表示，这种方法叫做图象法.
疑难疏引 用解析式表示函数关系的优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质.中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数.缺点：有些函数很难用解析式表示.
用列表法表示函数关系的优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.缺点：函数解析式的体现有时不明显.
用图象法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出函数的变化情况，更能体现数形结合的思想.缺点：变量的值依赖于图象的精度，不利于精确计算.
由于函数关系的三种表示方法各具特色，优点突出，但大都存在着缺点，不尽如人意，所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数的解析式，即用解析法表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后是画出函数的图象.
●案例1
小刚离开家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，跑累了再走余下的路程.在下图所示中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象中较符合小刚走法的是(　　)

【探究】 首先审清题意，特别是横、纵两轴的含义.纵轴表示离校的距离，所以排除A、C，在B、D中选择答案.由于开始时是跑步前进，所以同一时间内，位置变化大，所以选择D.
【溯源】 实际应用问题是高考考查的重点也是难点，解决此类问题要特别重视实际变量和函数变量之间的对应关系，尤其是图象题经常用直观感觉判断.
2.分段函数
疑难疏引 有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则也不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数是一个函数，在画图象时必须分段画，尤其需注意特殊点，在解决这部分题目时要注意分段定义函数作为一个整体与构成它的局部之间的关系.主要是指根据定义域的分段而产生不同的函数关系式.
●案例2
用分段函数表示f(x)=|x-1|，并求f(0)、f(-2)、f(3)．
【探究】 函数f(x)=|x-1|是一个分段函数,欲求f(0)、f(-2)、f(3),只需观察0、-2、3这三个自变量对应的是此函数的哪一段,从而代入求值.
【答案】 ∵f(x)=
∴f(0)=1，f(-2)=1-(-2)=3，f(3)=3-1=2.
【溯源】 求分段函数的有关函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式.一般分段函数的问题经常画出函数的图象，应用图象特征解决问题.同时要注意分类讨论思想的应用.
2.映射的概念
映射f∶A→B的定义是：设A、B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.
疑难疏引
（1）映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等.
（2）映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的.
（3）映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一确定的，这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.
（4）映射允许集合B中存在的元素在A中没有元素与其对应.
（5）映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.
（6）函数是一种特殊的映射，定义域集合和函数值域集合都是非空的数集；但映射中的两个集合A和B可为任何集合，如人、物、数等.
●案例3
下列对应是不是从集合A到集合B的映射，为什么？
（1）A=R，B={x∈R|x≥0}，对应法则是“求平方”；
（2）A=R，B={x∈R|x＞0}，对应法则是“求平方”；
（3）A={x∈R|x＞0}，B=R，对应法则是“求平方根”；
（4）A={平面α内的圆}，B={平面α内的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形”.
【探究】 只有（1）是映射，因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应.
（2）不是从集合A到集合B的映射.因为A中的元素0，在集合B中没有象.
（3）不是从集合A到集合B的映射.因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应，象不唯一.
（4）不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应，象不唯一.
【答案】 （1）是；（2）不是；（3）不是；（4）不是.
【溯源】 对于一个A到B的对应，A中的任何一个元素都对应B中的唯一一个元素，或A中的多个元素对应B中的一个元素，这样的对应都是映射，而A中的一个元素对应B中的多个元素的对应就不是映射.
可以简单地说：“一对一”“多对一”的对应是映射，“一对多”的对应不是映射.
活学巧用
1. 下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A. y=x－1和y=
B. y=x0和y=1
C. f（x）=x2和g（x）=（x+1）2
D. f（x）=和g（x）=
【思路解析】 看两个函数是否相同，主要看函数的定义域和对应法则.A选项中的两个函数定义域不相同；B选项中的两个函数的定义域也不同；C选项中的两个函数的解析式不同；只有D选项中的两个函数对应法则相同，定义域也相同.
【答案】 D
2. 下列各组函数是否表示同一个函数?
(1)f(x)=2x+1与g(x)=;
(2)f(x)=与g(x)=x-1;
(3)f(x)=|x-1|与g(t)=
(4)f(n)=2n-1(n∈Z)与g(n)=2n+1(n∈Z).
【思路解析】 对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.
【答案】 (1)g(x)=|2x+1|,f(x)与g(x)对应关系不同，因此是不同的函数.
(2)f(x)=x-1(x≠0),f(x)与g(x)的定义域不同,因此是不同的函数.
(3)f(x)= f(x)与g(t)的定义域相同,对应关系相同,因此是相同的函数.
(4)f(n)与g(n)的对应关系不同,因此是不同的函数.
3. 在下列选项中，可表示函数y=f(x)的图象的只可能是(　　)

【思路解析】 判断一幅图象表示的是不是函数的图象，关键是在图象中能不能找到一个x对应两个或两个以上的y，如果一个x对应两个以上的y，那么这个图象表示的就不是函数的图象.
A的图象表示的不是函数的图象，∵存在一个自变量x的取值(如:x=0)有两个y与之对应，不符合函数的定义.因此A不正确；B的图象是关于x轴对称也不符合函数的定义.因此B也不正确；C的图象是关于原点对称，但是当自变量x=0时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义.∴C选项也不正确；D表示的图象符合函数的定义，因此它表示的是函数的图象.因此选D.
【答案】 D
4. 求下列函数的定义域：
（1）y＝2＋；
（2）y＝·；
（3）y＝（x－1）0＋.
【思路解析】 给定函数时，要指明函数的定义域.对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合.因为函数的定义域是同时使思路分析式各部分有意义的x值的集合，所以应取各部分的交集.
【答案】 （1）要使函数有意义，当且仅当x－2≠0，即x≠2，所以这个函数的定义域为{x|x∈R且x≠2}.
（2）要使函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|x∈R且1≤x≤3}.
（3）要使函数有意义，当且仅当解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}.
5. 若函数f(x+1)的定义域为［0，1］，则f(3x-1)的定义域为　　　　　.
【思路解析】 ∵0≤x≤1,
∴1≤x+1≤2.
又∵f(x+1)和f(3x-1)在对应法则上有联系，
∴1≤3x-1≤2.
∴≤x≤1,即f(3x-1)的定义域为≤x≤1.
【答案】≤x≤1
6. 如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是　　　　　，这个函数的定义域为　　　　　.

【思路解析】 据长方体的体积公式，易得V=x（a－2x）2，其中0＜x＜.
【答案】 V=x（a－2x）2　{x|0＜x＜}
7. 设f（x）=则f（－）= ，f（1）=________，f（6）=________.
【思路解析】 分清自变量对应的解析式.
【答案】 1　－　3
8. 如果f（）=，求f（x）的解析式.
【思路解析】 函数解析式y=f（x）是自变量x确定y值的关系式，本题实质是求经怎样的变形得到这一结果.
【答案】 配凑法：∵f（）===，
∴f（x）=（x∈R且x≠0，x≠±1）.
换元法：设t=，则x=，代入f（）=，得
f（t）==，
∴f（x）=（x∈R且x≠0，x≠±1）.
9. 已知一次函数y=f(x)满足f［f(x)］=4x+3,求一次函数的解析式.
【思路解析】 设f(x)=ax+b（a≠0），用待定系数法.
【答案】 设f(x)=ax+b（a≠0）,
∴f［f(x)］=a·f(x)+b=a(ax+b)+b
=a2x+ab+b.
∴a2x+ab+b=4x+3.
∴
∴
∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.
10. 已知函数f(x)=（a、b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4，求函数f(x)的解析式.
【思路解析】 求出函数f(x)的解析式中的待定系数a、b是我们解题的目标，根据已知条件f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4，可以将题意转化为方程组求解.
【答案】 将x1=3,x2=4分别代入方程-x+12=0,得
解之得
所以f(x)=(x≠2).
11. 设函数f(x)满足f(x)+2f（-x）=x(x≠0)，求f(x).
【思路解析】 以-x代换x，解关于-x、x的方程组，消去-x.
【答案】 ∵f(x)+2f(-x)=x①
以-x代换x,得f(-x)+2f(x)=-x②
解①②组成的方程组得f(x)=-3x.
12. 已知f(xy)=f(x)f(y),且f(0)≠0，求f(x).
【思路解析】 可利用赋值法求解.赋值法：在求函数的解析式时，有时候要“以退求进”，即把自变量赋于特殊值展现内在联系，或者减少变量个数，以利求解.
【答案】 由于等式f(xy)=f(x)f(y)对于一切实数都成立，故不妨设y=0,代入得f(x·0)=f(x)·f(0),即f(0)=f(x)·f(0).
又∵f(0)≠0，∴f(x)=1.
13. 已知a为实数，x∈(-∞,a),则函数f(x)=x2-x+a+1的最小值是(　　)
A. a+
B. a2+1
C. 1
D. a2+1或a+
【思路解析】 此题考查用配方法求二次函数，并用分类讨论的数学思想确定函数的最小值.
f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+，若a≤，则函数f(x)=x2-x+a+1在(-∞,a)上单调递减，从而函数f(x)=x2-x+a+1在(-∞,a)上的最小值为f(a)=a2+1;若a>，则函数f(x)=x2-x+a+1在(-∞,a)上的最小值为f()=a+.
综上，当a≤时，函数的最小值为a2+1；当a>时，函数的最小值为a+.因此选D.
【答案】 D
14. 二次函数y=-x2+6x+k的值域为(-∞,0］,求k的值.
【思路解析】 ∵二次函数y=-x2+6x+k的值域为(-∞,0］,
∴其最小值为0,即顶点纵坐标为0,从图形上看就二次函数的图象与x轴相切.
【答案】 法1:y=-x2+6x+k=-(x-3)2+k+9.
∵值域为(-∞,0］,
∴k+9=0,k=-9.
法2:∵二次函数开口向下,值域为(-∞,0］,
∴其图象与x轴相切,判别式Δ=0,
即Δ=62-4·(-1)·k=36+4k=0.
∴k=-9.
15. 函数y=的值域是(　　)
A． (－∞，－1)∪(－1，＋∞)
B． (－∞，1)∪(1，＋∞)
C． (－∞，0)∪(0，＋∞)
D． (－∞，0)∪(1，＋∞)
【思路解析】 因为函数的分子与分母都是关于x的一次函数,所以可用“分离常数法”求此函数的值域.
y=
=
=1-
∵≠0,∴y≠1.故选B.
【答案】 B
16. 求函数y=2x-3+4x-13的值域.
【思路解析】 函数解析式中含有根式,并且根式内x的次数与根式外的x的次数相同,故可用“换元法”来求值域.
【答案】 令t=4x-13(t≥0),则x=.
所以y=+t
=
=.
因为t≥0,所以当t=0时，y min=.
所以函数的值域是(-∞, ］.
17. 求函数y=的值域.
【思路解析】 函数的解析式是分式,且分母中变量x的次数是二次的,函数式可化为关于x的一元二次方程,利用“判别式法”来求值域.
【答案】 将解析式改写成关于x的一元二次方程(2y-2)x2+(2y-2)x+y-5=0.
当y≠1时,Δ≥0,即(2y-2)2+20(2y-2)≥0y≥1或y≤-9.
当y=1时，y=5不成立，所以值域为(-∞,-9］∪(1,+∞).
18. 李明骑车上学，一开始以某一速度前进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是就加快了车速，在下面给出的四个函数示意图中（s为距离，t为时间），符合以上情况的是(　　)

【思路解析】 对位要清楚,注意时间和路程的变化关系．
【答案】 C
19. 已知f(x)=x2+2x-3，用图象法表示函数g(x)=.
【思路解析】 知道函数g(x)的定义域、值域和对应法则，就能根据这三个要素画出函数g(x)的图象，所以要先求出函数g(x)的三要素.
当f(x)≤0，x2+2x-3≤0，-3≤x≤1，g(x)=0.
当f(x)>0，即x<-3或x>1，g(x)=f(x)=(x+1)2-4.
【答案】

20. 函数在闭区间［-1,2］上的图象如图所示，求此函数的解析式.

【思路解析】 根据函数的图象求函数的解析式，关键是确定自变量在每一段上所对应的函数类型，然后由待定系数法求出每一段上的解析式，从而得出整个函数的解析式.
【答案】 f(x)=
21. 已知函数y=则函数y的最大值是_______________.
【思路解析】 可根据函数图象直接观察函数的取值范围,如图，画出分段函数的图象，图象的最高点A的纵坐标就是函数的最大值.而点A的坐标就是方程组的解，解得

∴A（-1，4）.
∴函数的最大值为4.

【答案】 4
22. 判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f：x→2x+1；
（2）设A=N *,B={0,1}，对应法则f：x→x除以2得到的余数；
（3）设X={1,2,3,4}，Y={1,,,},f:x→x取倒数；
（4）A={(x,y)||x|<2，x+y<3，x∈Z，y∈N},B={0,1,2},f:(x,y)→x+y；
（5）A={x|x>2,x∈N}，B=N,f：x→小于x的最大质数；
（6）A=N，B={0,1,2}，f：x→x被3除所得余数.
【思路解析】 根据映射的概念判断对应是否是映射，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射.
【答案】（1）、（2）、（3）、（5）、（6）都是A到B的映射，（4）不是A到B的映射.
23. 是不是从A到B的映射？是不是函数？
（1）A=(－∞,+∞)，B=（0，+∞）,f∶x→y=|x|;
（2）A={x|x≥0},B=R,f∶x→y,y2=x;
（3）A={x|x≥2,x∈Z},B={y|y≥0,y∈Z},f∶x→y=x2-2x+2;
（4）A={平面α内的矩形}，B={平面α内的圆}，f∶作矩形的外接圆.
【思路分析】 按映射的特点可以判断：（1）不是映射，因为0∈A，但|0|=0∈B，当然更不是函数.（2）不是映射，更不是函数.因为y=±x，当x>0时，元素x的象不唯一.（3）是映射.因为y=(x-1)2+1≥0，又当x∈A时，y∈Z，所以(3)是映射.又因为A、B都是数集，所以也是函数.（4）是映射.因为每一个矩形都有唯一的外接圆，即A中每一元素在B中都有唯一的象，所以（4）是映射.但A、B不是数集，所以不是函数.
【答案】 （1）不是；不是.　（2）不是；不是.　（3）是；是.　（4）是；不是.
24. 已知A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},a∈N,k∈N,x∈N,y∈B,f:x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数,求a、k、A、B.
【思路解析】 函数就是从定义域到值域的对应,因此值域中的每一元素,在定义域中一定能找到元素与之对应.
【答案】 由对应法则:1→4,2→7,3→10,k→3k+1.
∵a4≠10,∴a2+3a=10a=2(a=-5舍去).
又3k+1=16,∴k=5.
故A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}.