2022-2022学年高中数学第1章集合1集合的含义与表示学案北师大版必修.doc
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§1 集合的含义与表示 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解集合的含义,体会元素与集合的附属关系.(重点) 2.理解并掌握集合中元素的三个特性.(重点) 3.掌握集合的表示方法及几个常见数集的表示符号.(重点、难点) 1.通过集合与元素的概念的学习,培养数学抽象素养. 2.通过元素与集合间的关系的研究,培养数学运算素养. 1.集合与元素的概念 阅读教材P3“一般地〞自然段及以上内容,完成以下问题. (1)集合:一般地,指定的某些对象的全体称为集合.集合常用大写字母A,B,C,D,…标记. (2)元素:集合中的每个对象叫作这个集合的元素.常用小写字母a,b,c,d,…表示集合中的元素. 思考1:(1)某班所有的“大个子〞能否构成一个集合? (2)某班身高高于170 cm的所有学生能否构成一个集合? [提示] (1)不能构成一个集合,因为“大个子〞无明确的标准. (2)能构成一个集合,因为标准确定. 2.元素与集合的关系 阅读教材P3~P4从“给定一个集合A〞开始至“π∈R等〞之间的内容,完成以下问题. (1)元素与集合的关系 关系 概念 记作 读作 属于 假设a在集合A中,就说a属于集合A a∈A a属于A 不属于 假设a不在集合A中,就说a不属于集合A a∉A a不属于A (2)常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N+或N* Z Q R 3.集合的表示法 阅读教材P4“集合的常用表示法〞至P5“一般地〞以上内容,答复以下问题. (1)集合的表示法 ①列举法 把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内的方法.符号表示为{,…,}. ②描述法 用确定的条件表示某些对象属于一个集合,并写在大括号内的方法叫作描述法. 描述法的格式 (2)元素的特性 元素的三个特性是指确定性,互异性,无序性. 思考2:(1)构成单词“bee〞的所有字母组成的集合有多少个元素? (2)你会区分数集与点集吗?如集合A={x|0<x<1},B={(x,y)|y=2x-1},哪个是数集?哪个是点集? [提示] (1)2个. (2)假设一个集合中所有元素均是数,那么这个集合称为数集.同样,假设一个集合中所有元素均是点,这个集合称为点集,集合A的代表元素是x,x是大于0且小于1的实数,故A是数集;集合B的代表元素是有序实数对(x,y),(x,y)是一次函数y=2x-1图像上的点,故B是点集.因此,形如{x|x满足的条件,x∈R}的集合是数集;形如{(x,y)|x,y满足的条件,x,y∈R}的集合是点集. 4.集合的分类 阅读教材P5从“一般地〞到“练习〞上方的内容,完成以下问题. 集合 [根底自测] 1.假设a是R中的元素,但不是Q中的元素,那么a可以是( ) A.3.14 B.-5 C. D. [答案] D 2.给出以下三个关系:①∅={0};②0∈{(0,0)};③0∈{0}.其中表述正确的选项是( ) A.①③ B.②③ C.③ D.①②③ [答案] C 3.集合{x∈N*|x2-1=0}用列举法可表示为________. {1} [由x2-1=0,得x=±1. 又x∈N*,那么x=1. 故集合{x∈N*|x2-1=0}用列举法可表示为{1}.] 4.假设1∈{x,x2},那么x=________. -1 [由1∈{x,x2},得x=1,或x2=1,即x=±1. 当x=1时,集合{x,x2}中的元素不具有互异性,故舍去. 所以x=-1.] 集合的含义 【例1】 以下每组对象能否构成一个集合: (1)我们班的所有“帅男〞; (2)不超过20的非负数; (3)直角坐标平面内第一象限的一些点; (4)的近似值的全体. [解] (1)“帅男〞没有明确的标准,因此不能构成集合;(2)任给一个实数x,可以明确地判断是否为“不超过20的非负数〞,即“0≤x≤20〞与“x>20或x<0〞,两者必居其一,且仅居其一,故“不超过20的非负数〞能构成集合;(3)“一些点〞无明确的标准,对于某个点是否在“一些点〞中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点〞不能构成集合;(4)“的近似值〞不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2〞是不是它的近似值,所以“的近似值〞不能构成集合. 判断给定的对象能不能构成集合,关键在于是否给出一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素 1.以下各组对象可以组成集合的是( ) A.数学必修1课本中所有的难题 B.小于8的所有素数 C.直角坐标平面内坐标轴上的一些点 D.所有小的正数 B [A中的“难题〞,C中的“一些点〞,D中的“小的正数〞都没有明确的标准,因此,都不能组成集合,而B中小于8的素数是明确的,应选B.] 集合的表示方法 【例2】 用适当的方法表示以下集合: (1)所有正奇数组成的集合; (2)方程x2-2=0的解集; (3)在自然数集中,小于100的偶数组成的集合; (4)在平面直角坐标系内,所有第二象限的点组成的集合. [解] (1){x|x=2n+1,n∈N}; (2){-,}; (3){x|x=2n,n<50,且n∈N}; (4){(x,y)|x<0,且y>0}. 1.用列举法表示集合的适用条件: (1)集合中的元素较少,能够一一列举出来时,适合用列举法; (2)集合中的元素较多,但呈现一定的规律性时,可通过列举局部元素作为代表,其他元素用省略号表示. 2.用描述法表示集合应注意: (1)弄清元素的形式,比方是数,还是点; (2)元素具有怎样的属性. 2.用适当的方法表示以下集合: (1)小于20的所有质数组成的集合; (2)大于-3且小于1的所有有理数组成的集合; (3)方程(x-1)(x2-1)=0的解集; (4)二次函数y=x2-9图像上的所有点组成的集合. [解] (1){2,3,5,7,11,13,17,19}; (2){x∈Q|-3<x<1}; (3){-1,1}; (4){(x,y)|y=x2-9}. 元素与集合的关系 [探究问题] 1.-3∈{x|x=2n-1,n∈Z}吗? 提示:由2n-1=-3,得n=-1,故-3∈{x|x=2n-1,n∈Z}. 2.当3∈{x|2x-1>a}时,求a的取值范围;当3∉{x|2x-1>a}时,a的取值范围又是什么呢? 提示:当3∈{x|2x-1>a}时,a<2×3-1,所以a<5; 当3∉{x|2x-1>a}时,a≥2×3-1,所以a≥5. 集合A含有两个元素a和a2,假设1∈A,那么实数a的值为________. [思路探究] 从元素与集合的关系入手,求出a的值后,要注意验证集合的元素是否满足互异性. -1 [假设1∈A,那么a=1或a2=1,即a=±1. 当a=1时,集合A有重复元素,所以a≠1; 当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合元素的互异性,所以a=-1.] 1.(变条件)假设去掉本例中的条件“1∈A〞,那么实数a的取值范围是什么? [解] 因为集合A中含有两个元素a和a2, 所以a≠a2,即a≠0且a≠1. 2.(变条件)假设将本例中的“1∈A〞改为“2∈A〞,那么a为何值? [解] 因为2∈A,所以a=2或a2=2, 即a=2或a=±. 3.(变条件)假设由a和a2构成的集合只有一个元素,那么a为何值? [解] 因为由a和a2构成的集合只有一个元素, 所以a=a2,即a=0或a=1. 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 1.研究对象能否构成集合,就是要看是否有一个确定的标准,能确定一个个体是否属于这个总体,如果有,能构成集合,如果没有,就不能构成集合.这是判断能否构成集合的依据. 2.集合中元素的三个特性 (1)确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的,即按照明确的判断标准判断给定的元素,或者在这个集合里,或者不在这个集合里,二者必居其一. (2)互异性:对于给定的一个集合,它的任何两个元素都是不同的.假设A是一个集合,a,b是集合A的任意两个元素,那么一定有a≠b. (3)无序性:集合中的元素是没有顺序的,集合与其中元素的排列次序无关.如由元素a,b,c与由元素b,a,c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系. 1.思考辨析 (1)著名的数学家能构成一个集合.( ) (2)-1∈N.( ) (3){x∈R|2x-3>0}是不等式2x-3>0的解集,它是一个无限集.( ) [解析] (1)×,因为“著名〞无明确标准. (2)×,因为-1不是自然数. (3)√. [答案] (1)× (2)× (3)√ 2.以下所给关系正确的个数是( ) ①π∈R;②∉Q;③0∈N*;④|-4|∉N*. A.1 B.2 C.3 D.4 B [只有①②正确,应选B.] 3.假设4∈{3,x+1},那么实数x=________. 3 [由4∈{3,x+1},得x+1=4,解得x=3.] 4.用适当的方法表示以下集合: (1)方程x(x2+2x+1)=0的解集; (2)在自然数集中,小于1 000的奇数构成的集合. [解] (1)因为方程x(x2+2x+1)=0的解为0和-1,所以解集为{0,-1}. (2)在自然数集中,奇数可表示为x=2n+1,n∈N,故在自然数集中,小于1000的奇数构成的集合为{x|x=2n+1,且n<500,n∈N}.- 配套讲稿:
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