2022-2022学年高中数学章末综合测评3不等式新人教A版必修5.doc
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章末综合测评(三) 不等式 (满分:150分 时间:120分钟) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题中: ①若a>b,c≠0,则ac>bc;②若a>b,则ac2>bc2;③若ac2>bc2,则a>b;④若a>b>0,c>d,则ac>bd. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A [若a>b,c<0时,ac<bc,①错;②中,若c=0,则有ac2=bc2,②错;③正确;④中,只有c>d>0时,ac>bd,④错,故选A.] 2.直线3x+2y+5=0把平面分成两个区域.下列各点与原点位于同一区域的是( ) A.(-3,4) B.(-3,-4) C.(0,-3) D.(-3,2) A [当x=y=0时,3x+2y+5=5>0,则原点一侧对应的不等式是3x+2y+5>0,可以验证仅有点(-3,4)满足3x+2y+5>0.] 3.设A=+,其中a,b是正实数,且a≠b,B=-x2+4x-2,则A与B的大小关系是( ) A.A≥B B.A>B C.A<B D.A≤B B [∵a,b都是正实数,且a≠b, ∴A=+>2=2,即A>2,B=-x2+4x-2=-(x2-4x+4)+2=-(x-2)2+2≤2, 即B≤2,∴A>B.] 4.已知0<x<y<a<1,则有( ) A.loga(xy)<0 B.0<loga(xy)<1 C.1<loga(xy)<2 D.loga(xy)>2 D [0<x<y<a<1, 即0<x<a,0<y<a,0<xy<a2. 又0<a<1,f(x)=logax是减函数, loga(xy)>logaa2=2,即loga(xy)>2.] 5.不等式2x2+2x-4≤的解集为( ) A.(-∞,-3] B.(-3,1] C.[-3,1] D.[1,+∞)∪(-∞,-3] C [由已知得 2x2+2x-4≤2-1, 所以x2+2x-4≤-1, 即x2+2x-3≤0, 解得-3≤x≤1.] 6.不等式组的解集为( ) A.[-4,-3] B.[-4,-2] C.[-3,-2] D.∅ A [ ⇒ ⇒⇒-4≤x≤-3.] 7.已知点(x,y)是如图所示的平面区域内(阴影部分且包括边界)的点,若目标函数z=x+ay取最小值时,其最优解有无数个,则的最大值是( ) A. B. C. D. A [目标函数z=x+ay可化为y=-x+z,由题意知,当a<0,且直线y=-x+z与直线AC重合时,符合题意,此时kAC==1,所以-=1,a=-1,而=表示过可行域内的点(x,y)与点(-1,0)的直线的斜率,显然过点C(4,2)与点(-1,0)的直线的斜率最大,即=.] 8.若x,y满足则x+2y的最大值为( ) A.1 B.3 C.5 D.9 [答案] D 9.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=++,则( ) A.T>0 B.T<0 C.T=0 D.T≥0 B [法一:取特殊值,a=2,b=c=-1, 则T=-<0,排除A,C,D,可知选B. 法二:由a+b+c=0,abc>0,知三数中一正两负, 不妨设a>0,b<0,c<0, 则T=++===. ∵ab<0,-c2<0,abc>0,故T<0.] 10.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈都成立,则a的最小值为( ) A.0 B.-2 C.-3 D.- D [由对一切x∈,不等式x2+ax+1≥0都成立, 所以ax≥-x2-1,即a≥-x-. 设g(x)=-x-,只需a≥g(x)max, 而g(x)=-x-在x∈上是增函数,所以 g(x)=-x-的最大值是g=-.] 11.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为( ) A.-1 B.1 C. D.2 B [如图所示,约束条件 表示的可行域如阴影部分所示.当直线x=m从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时,m取最大值.解方程组得A点坐标为(1,2), ∴m的最大值是1,故选B.] 12.已知x>0,y>0.若+>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.m≥4或m≤-2 B.m≥2或m≤-4 C.-2<m<4 D.-4<m<2 D [∵x>0,y>0, ∴+≥8(当且仅当=时取“=”). 若+>m2+2m恒成立,则m2+2m<8,解之得-4<m<2.] 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13.已知不等式x2-ax-b<0的解集为(2,3),则不等式bx2-ax-1>0的解集为 . [方程x2-ax-b=0的根为2,3.根据根与系数的关系得:a=5,b=-6.所以不等式为6x2+5x+1<0,解得解集为.] 14.若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值是 . [对于x2+3xy-1=0可得y=·, ∴x+y=+≥2=(当且仅当x=时等号成立).] 15.若关于x、y的不等式组表示的平面区域是一个三角形,则k的取值范围是 . ∪(-∞,-2) [ 不等式|x|+|y|≤2表示的平面区域为如图所示的正方形ABCD及其内部. 直线y+2=k(x+1)过定点P(-1,-2),斜率为k,要使平面区域表示一个三角形,则kPD<k≤kPA或k<kPC.而kPD=0,kPA==,kPC==-2, 故0<k≤或k<-2.] 16.若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立,则a的取值范围是 . [=,而y=t+在(0,2]上单调递减,故t+≥2+=,=≤(当且仅当t=2时等号成立),因为≥,所以=+=2-≥1(当且仅当t=2时等号成立),故a的取值范围为.] 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知集合A=,B={x|log(9-x2)<log(6-2x)},又A∩B={x|x2+ax+b<0},求a+b的值. [解] 由2x2-2x-3<=23-3x, 得x2+x-6<0,所以-3<x<2, 故A={x|-3<x<2}. 由集合B可得: 解得-1<x<3, B={x|-1<x<3}, A∩B={x|-1<x<2},所以方程x2+ax+b=0的两个根为-1和2, 则a=-1,b=-2,所以a+b=-3. 18.(本小题满分12分)已知函数y=的定义域为R. (1)求a的取值范围; (2)解关于x的不等式x2-x-a2+a<0. [解] (1)因为函数y=的定义域为R,所以ax2+2ax+1≥0,恒成立. ①当a=0时,1≥0恒成立; ②当a≠0时,则 解得0<a≤1. 综上,a的取值范围为[0,1]. (2)由x2-x-a2+a<0得,(x-a)[x-(1-a)]<0. 因为0≤a≤1,所以①当1-a>a, 即0≤a<时,a<x<1-a; ②当1-a=a,即a=时,<0,不等式无解; ③当1-a<a,即<a≤1时, 1-a<x<a. 综上所述,当0≤a<时,解集为(a,1-a); 当a=时,解集为∅; 当<a≤1时,解集为(1-a,a). 19.(本小题满分12分)设函数f(θ)=sin θ+cos θ,其中角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.若点P(x,y)为平面区域Ω:上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值. [解] 作出平面区域Ω(即三角形区域ABC),如图中阴影部分所示,其中A(1,0),B(1,1),C(0,1),于是0≤θ≤. 又f(θ)=sin θ+cos θ=2sin ,且≤θ+≤,故当θ+=,即θ=时,f(θ)取得最大值,且最大值等于2;当θ+=,即θ=0时,f(θ)取得最小值,且最小值等于1. 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x≠a,a为非零常数). (1)解不等式f(x)<x; (2)设x>a时,f(x)有最小值为6,求a的值. [解] (1)f(x)<x,即<x, 整理得(ax+3)(x-a)<0. 当a>0时,(x-a)<0, ∴解集为; 当a<0时,(x-a)>0, 解集为. (2)设t=x-a,则x=t+a(t>0), ∴f(x)= =t++2a ≥2+2a =2+2a. 当且仅当t=, 即t=时,等号成立, 即f(x)有最小值2+2a. 依题意有2+2a=6, 解得a=1. 21.(本小题满分12分)经观测,某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系:y=(v>0). (1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?最大车流量为多少?(精确到0.01) (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内? [解] (1)y== ≤=≈11.08. 当v=,即v=40千米/小时时,车流量最大,最大值为11.08千辆/小时. (2)据题意有:≥10, 化简得v2-89v+1 600≤0, 即(v-25)(v-64)≤0, 所以25≤v≤64. 所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内. 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2x+2-x. (1)解不等式f(x)>; (2)若对任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值. [解] (1)设2x=t>0,则2-x=, ∴t+>,则2t2-5t+2>0, 解得t<或t>2,即2x<或2x>2, ∴x<-1或x>1. ∴f(x)>的解集为{x|x<-1或x>1}. (2)f(x)=2x+2-x, 令t=2x+2-x,则t≥2(当且仅当x=0时,等号成立). 又f(2x)=22x+2-2x=t2-2, 故f(2x)≥mf(x)-6可化为t2-2≥mt-6,即m≤t+, 又t≥2,t+≥2=4(当且仅当t=2,即x=0时等号成立). ∴m≤=4. 即m的最大值为4. - 8 -- 配套讲稿:
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