2022-2022学年高中数学课时分层作业2基本不等式含解析新人教A版选修.doc
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课时分层作业(二) 基本不等式 (建议用时:45分钟) [基础达标练] 一、选择题 1.函数f(x)=的最大值为( ) A. B. C. D.1 B [显然x≥0.当x=0时,f(x)=0; 当x>0时,x+1≥2,∴f(x)≤, 当且仅当x=1时,等号成立, ∴f(x)max=.] 2.设0<a<b,则下列不等式中正确的是( ) A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b B [取特殊值法.取a=2,b=8,则=4,=5,所以a<<<b.故选B.] 3.已知x≥,则f(x)=有( ) A.最大值为 B.最小值为 C.最大值为1 D.最小值为1 D [∵x≥,∴x-2≥, ∴f(x)==(x-2)+≥ 2=1,当且仅当=, 即x=3时,等号成立,∴f(x)min=1.] 4.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D.4 D [由题意知a+b=x+y,cd=xy, ∴(a+b)2=(x+y)2≥4xy=4cd, ∴≥4,当且仅当x=y时,取等号.] 5.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的关系是( ) A.x>y B.y>x C.x>y D.y>x B [因为a,b是不相等的正数,所以x2=+<+=a+b=y2,即x2<y2,故x<y.] 二、填空题 6.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是________. [解析] x2+y2+xy=(x+y)2-xy≥(x+y)2-=(x+y)2,∴(x+y)2≤,∴|x+y|≤,即x+y的最大值为. [答案] 7.已知x,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为________. [解析] 因为x>0,y>0, 所以+≥2=,即≤1,解得xy≤3,所以其最大值为3. [答案] 3 8.已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)·(bm+an)的最小值为________. [解析] ∵a,b,m,n∈R+,且a+b=1,mn=2, ∴(am+bn)(bm+an) =abm2+a2mn+b2mn+abn2 =ab(m2+n2)+2(a2+b2) ≥2ab·mn+2(a2+b2) =4ab+2(a2+b2) =2(a2+b2+2ab) =2(a+b)2=2, 当且仅当m=n=时,取“=”, ∴所求最小值为2. [答案] 2 三、解答题 9.已知a,b,x,y∈R+,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a,b. [解] ∵x+y=(x+y) =a+b++≥a+b+2=(+)2, 当且仅当=时取等号. 又(x+y)min=(+)2=18, 即a+b+2=18. ① 又a+b=10, ② 由①②可得或 10.已知x1,x2,x3为正实数,若x1+x2+x3=1,求证:++≥1. [证明] ∵+x1++x2++x3≥2+2+2=2(x1+x2+x3)=2, ∴++≥1. [能力提升练] 1.设x,y∈R+,且满足x+4y=40,则lg x+lg y的最大值是( ) A.40 B.10 C.4 D.2 D [因为x,y∈R+,∴≤, ∴≤=10,∴xy≤100. ∴lg x+lg y=lg xy≤lg 100=2.] 2.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( ) A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处 D.2千米处 A [由已知:y1=,y2=0.8x(x为仓库到车站的距离). 费用之和y=y1+y2=0.8x+≥2=8. 当且仅当0.8x=,即x=5时等号成立.] 3.y=(x>0)的最小值是________. [解析] ∵x>0, ∴y==+x+1-1≥2-1. 当且仅当x+1=时取等号. [答案] 2-1 4.若对任意x>0,≤a恒成立,求实数a的取值范围. [解] 由x>0,知原不等式等价于 0<≤=x++3恒成立. 又x>0时,x+≥2=2, ∴x++3≥5,当且仅当x=1时,取等号. 因此min=5, 从而0<≤5,解得a≥. 故实数a的取值范围为.- 配套讲稿:
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