2022版高中数学第1讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介练习新人教A版选修4-.doc

四 柱坐标系与球坐标系简介
一、根底达标
1.在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为，P在xOy平面上的射影为Q，那么Q点的坐标为(　　)
A.(2，0，3) B.
C. D.
解析　由点的空间柱坐标的意义可知，选B.
答案　B
2.空间直角坐标系Oxyz中，以下柱坐标对应的点在平面yOz内的是(　　)
A. B.
C. D.
解析　由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面yOz内.
答案　A
3.设点M的直角坐标为(2，0，2)，那么点M的柱坐标为(　　)
A.(2，0，2) B.(2，π，2)
C.(，0，2) D.(，π，2)
解析　设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，∴ρ＝＝2，tan θ＝＝0，
∴θ＝0，z＝2.∴点M的柱坐标为(2，0，2).
答案　A
4.假设点M的球坐标为，那么它的直角坐标为(　　)
A.(－6，2，4) B.(6，2，4)
C.(－6，－2，4) D.(－6，2，－4)
解析　由x＝8sincos＝－6，y＝8sinsin＝2，z＝8cos＝4，得点M的直角坐标为(－6，2，4).
答案　A
5.点M的球坐标为，那么点M到Oz轴的距离为________.
解析　设M的直角坐标为(x，y，z)，那么由(r，φ，θ)＝，知x＝4sincosπ＝－2，y＝4sinsinπ＝2，z＝rcos φ＝4cos＝2.
∴点M的直角坐标为(－2，2，2).
故点M到Oz轴的距离＝2.
答案　2
6.点P1的球坐标是P1，P2的柱坐标是P2，那么|P1P2|＝________.
解析　点P1的直角坐标为(2，－2，0)点P2的直角坐标为(，1，1)，由两点距离公式得|P1P2|＝.
答案　
7.点P的柱坐标为，点B的球坐标为，求这两个点的直角坐标.
解　设点P的直角坐标为(x，y，z)，那么x＝4cos＝4×＝－2，y＝4sin＝4×＝2，z＝－.
设点B的直角坐标为(x，y，z)，那么x＝8sincos＝8××＝2，y＝8sinsin＝8××＝2，z＝8cos＝8×＝4.
所以点P的直角坐标为(－2，2，－)，点B的直角坐标为(2，2，4).
二、能力提升
8.点P的柱坐标为，点B的球坐标为，那么这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为(　　)
A.P点(5，1，1)，B点
B.P点(1，1，5)，B点
C.P点，B点(1，1，5)
D.P点(1，1，5)，B点
解析　设P点的直角坐标为(x，y，z)，x＝·cos＝·＝1，y＝·sin＝1，z＝5.
设B点的直角坐标为(x，y，z)，
x＝·sin·cos＝··＝，
y＝·sin·sin＝··＝，
z＝·cos＝·＝.
所以，点P的直角坐标为(1，1，5)，点B的直角坐标为.
答案　B
9.在球坐标系中，方程r＝1表示____________，方程φ＝表示空间的____________.
答案　球心在原点，半径为1的球面　顶点在原点，中心轴为z轴，轴截面顶角为的上半个圆锥面
10.柱坐标系Oxyz中，假设点M的柱坐标为，那么|OM|＝________.
解析　∵(ρ，θ，z)＝，设M的直角坐标为(x，y，z)，那么x2＋y2＝ρ2＝4，∴|OM|＝＝＝3.
答案　3
11.在球坐标系中，求两点P，Q的距离.
解　设P，Q两点球坐标转化为直角坐标.设点P的直角坐标为(x，y，z)，
x＝3sincos＝，x＝3sinsin＝，z＝3cos＝3×＝.
∴P.设点Q的直角坐标为(x1，y1，z1)，x1＝3sincos＝－，y1＝3sinsin＝，z1＝3cos＝.
∴点Q.
∴|PQ|＝
＝.即P，Q两点间的距离为.
12.在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)的围成的几何体的体积.
解　根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如下图，是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，∴V＝Sh＝πr2h＝2π.
三、探究与创新
13.在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系.有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A、B，飞机从A到B应该走怎样的航线最快？所走的路程有多远？
解　如下图，∵A、B，
∴∠AOO1＝∠BOO1＝.
设赤道面上与A、B经度相同的点分别为C、D，x轴与赤道大圆的交点为E，那么∠EOC＝，∠EOD＝，∴∠COD＝－＝.∴∠AO1B＝∠COD＝.
在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，∴O1B＝R，同理O1A＝R.∵∠AO1B＝，∴AB＝R.在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝.
那么经过A、B两地的球面距离为R.
答：走经过A、B两地的大圆，飞机航线最短，其距离为R.