2022-2022学年高中数学人教A版必修一学案：2.2.2.2-对数函数及其性质的应用-Word版含解析.doc

第2课时　对数函数及其性质的应用

[小试身手]
1．若log3a<0，b>1，则(　　)
A．a>1，b>0　B．0<a<1，b>0
C．a>1，b<0 D．0<a<1，b<0
解析：由函数＝log3x，y＝x的图象知，0<a<1，b<0.
答案：D
2．函数y＝2＋log2x(x≥2)的值域为(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
解析：因为x≥2，所以log2x≥1，所以y≥3.
答案：C
3．已知f(x)＝log3x，则f，f，f(2)的大小关系是(　　)
A．f>f>f(2) B．f<f<f(2)
C．f>f(2)>f D．f(2)>f>f
解析：因为f(x)＝log3x，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
又因为2>>，所以f(2)>f>f.
答案：B
4．函数y＝lg|x|(　　)
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
解析：y＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
答案：B

类型一　比较数值的大小
例1　(1)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
(2)比较下列各组值的大小：
①log0.5，log0.6; ②log1.51.6，log1.51.4；
③log0.57，log0.67; ④log3π，log20.8.
【解析】　(1)a＝log2π>1，b＝logπ<0，c＝π－2∈(0,1)，所以a>c>b.
(2)①因为函数y＝logx是减函数，且0.5<0.6，所以log0.5>log0.6.
②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.
③因为0>log70.6>log70.5，所以<，即log0.67<log0.57.
④因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8.
【答案】　(1)C　(2)①log0.5>log0.6.②log1.51.6>log1.51.4.
③log0.67<log0.57.④log3π>log20.8.

(1)选择中间量0和1，比较大小．
(2)①②③利用对数函数的单调性比较大小．
④用中间量1比较大小．

方法归纳
比较对数值大小时常用的三种方法

跟踪训练1　比较下列各组对数值的大小：
(1)log1.6与log2.9；
(2)log21.7与log23.5；
(3)log3与log3；
(4)log0.3与log20.8.

解析：(1)∵y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，1.6<2.9，
∴log1.6>log2.9.
(2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，而1.7<3.5，
∴log21.7<log23.5.
(3)借助y＝logx及y＝logx的图象，如图所示．
在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，∴log3<log3.
(4)由对数函数性质知，log0.3>0，log20.8<0，
∴log0.3>log20.8.
(1)、(2)同底数．
(3)底数不同、真数相同．
(4)底数与真数都不同．

类型二　解对数不等式
例2　(1)已知log0.72x<log0.7(x－1)，则x的取值范围为________；
(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
【解析】　(1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.72x<log0.7(x－1)得解得x>1，
即x的取值范围是(1，＋∞)．
(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，
当a>1时，有解得2≤x<3.
当0<a<1时，有解得1<x≤2.
综上可得，
当a>1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2,3)；
当0<a<1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)(a>0且a≠1)中x的取值范围是(1,2]．
【答案】　(1)(1，＋∞)　(2)答案见解析

(1)利用函数y＝log0.7x的单调性求解．
(2)分a>1和0<a<1两种情况讨论，解不等式．

方法归纳
两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式．
①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；
②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x)．
(2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab.
①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；
②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.

跟踪训练2　(1)满足不等式log3x<1的x的取值集合为________；
(2)根据下列各式，确定实数a的取值范围：
①log1.5(2a)>log1.5(a－1)；
②log0.5(a＋1)>log0.5(3－a)．
解析：(1)因为log3x<1＝log33，所以x满足的条件为
即0<x<3.所以x的取值集合为{x|0<x<3}．
(2)①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数．
因为log1.5(2a)>log1.5(a－1)，所以解得a>1，
即实数a的取值范围是(1，＋∞)．
②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)>log0.5(3－a)，
所以解得－1<a<1.即实数a的取值范围是(－1,1)．
答案：(1){x|0<x<3}　(2)①(1，＋∞)　②(－1,1)
(1)log33＝1.
(2)由对数函数的单调性求解．,

类型三　对数函数性质的综合应用
例3　已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．
【解析】　(1)由题意得
解得－1<x<3，所以函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)因为f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]
＝loga(－x2＋2x＋3)
＝loga[－(x－1)2＋4]，
若0<a<1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4，
所以loga4＝－2，a－2＝4，
又0<a<1，所以a＝.
若a>1，
则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值．
综上可知，a＝.
(1)真数大于0.
(2)分0<a<1，a>1两类讨论．

方法归纳
1．解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数需注意的问题
①要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)>0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x>0.
②判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．
2．形如y＝logaf(x)的函数的单调性判断
首先要确保f(x)>0，
当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．
当0<a<1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝(x)的单调性相反．,

跟踪训练3　已知函数f(x)＝log2(1＋x2)．
求证：(1)函数f(x)是偶函数；
(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
证明：(1)函数f(x)的定义域是R，
f(－x)＝log2[1＋(－x)2]
＝log2(1＋x2)＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(2)设0<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝log2(1＋x)－log2(1＋x)
＝log2，
由于0<x1<x2，则0<x<x，
则0<1＋x<1＋x，
所以0<<1.
又函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log2<0.
所以f(x1)<f(x2)．
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．,

(1)函数是偶函数，
f(－x)＝f(x)．
(2)用定义法证明函数是增函数．

[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设a＝log0.50.9，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a<b<c B．b<a<c
C．b<c<a D．a<c<b
解析：因为0＝log0.51<a＝log0.50.9<log0.50.5＝1，
b＝log1.10.9<log1.11＝0，c＝1.10.9>1.10＝1，
所以b<a<c，故选B.
答案：B
2．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：当a>1时，loga<0<1，成立．
当0<a<1时，y＝logax为减函数．
由 loga<1＝logaa，得0<a<.
综上所述，0<a<或a>1.
答案：B
3．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是(　　)
A．(0,2] B．[－2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．[2，＋∞)
解析：－x2＋3x＋4＝－2＋≤，又－x2＋3x＋4>0，则0<－x2＋3x＋4≤，函数y＝log0.4x为(0，＋∞)上的减函数，则y＝log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4＝－2，函数的值域为[－2，＋∞)．
答案：B
4．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是(　　)

解析：∵a>1，∴函数y＝a－x的图象过点(0,1)且递减，函数y＝logax的图象过点(1,0)且递增，故选A.
答案：A
5．如图所示，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)

A．{x|－1<x≤0} B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1<x≤2}
解析：在平面直角坐标系中作出函数y＝log2(x＋1)的大致图象如图所示．

所以f(x)≥log2(x＋1)的解集是{x|－1<x≤1}．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________．
解析：由4x－x2>0得0<x<4，
函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0,4)．
令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，
当x∈(0,2]时，u＝4x－x2是增函数，
当x∈(2,4)时，u＝4x－x2是减函数．
又∵y＝log3u是增函数，
∴函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0,2]．
答案：(0,2]
7．已知函数f(x)＝log2为奇函数，则实数a的值为________．
解析：由奇函数得f(x)＝－f(－x)，
log2 ＝－log2，
＝，a2＝1，
因为a≠－1，
所以a＝1.
答案：1
8．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．
解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则
则1<a<2；
若f(x)，g(x)均为减函数，则
无解．
答案：(1,2)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求函数y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解析：利用换元法，转化为二次函数问题来解决．
由y＝logx在区间[2,4]上为减函数知，
log2≥logx≥log4，即－2≤logx≤－1.
若设t＝logx，
则－2≤t≤－1，且y＝t2－t＋5.
而y＝t2－t＋5的图象的对称轴为t＝，且在区间上为减函数，
而[－2，－1]⊆.
所以当t＝－2，即x＝4时，此函数取得最大值，最大值为10；
当t＝－1，即x＝2时，此函数取得最小值，最小值为.
10．已知loga(2a＋3)<loga3a，求a的取值范围．
解析：(1)当a>1时，原不等式等价于
解得a>3.
(2)当0<a<1时，原不等式等价于
解得0<a<1.
综上所述，a的范围是(0,1)∪(3，＋∞)．
[能力提升](20分钟，40分)
11．若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．(1，＋∞)
解析：令u＝2－ax，因为a>0，所以u是关于x的减函数，当x∈[0,1]时，umin＝2－a×1＝2－a.因为2－ax>0在x∈[0,1]时恒成立，所以umin>0，即2－a>0，a<2.
在[0,1]上，随着x的增大，u＝2－ax减小，要使函数y＝loga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则y＝logau在其定义域上必须是增函数，故a>1.
综上可知，1<a<2.
答案：B
12．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得或
解得a>1或－1<a<0.
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
13．已知f(x)＝的值域为R，求a的取值范围．
解析：要使函数f(x)的值域为R，
需使所以
所以－1≤a<.
即a的取值范围为.
14．已知a>0且a≠1，f(logax)＝.
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的单调性和奇偶性；
(3)对于f(x)，当x∈(－1,1)时，有f(1－m)＋f(1－2m)<0，求m的取值范围．
解析：(1)令t＝logax(t∈R)，
则x＝at，且f(t)＝，
所以f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)；
(2)因为f(－x)＝(a－x－ax)
＝－f(x)，
且x∈R，所以f(x)为奇函数．
当a>1时，ax－a－x为增函数，
并且注意到>0，
所以这时f(x)为增函数；
当0<a<1时，类似可证f(x)为增函数．
所以f(x)在R上为增函数；
(3)因为f(1－m)＋f(1－2m)<0，且f(x)为奇函数，
所以f(1－m)<f(2m－1)．
因为f(x)在(－1,1)上为增函数，
所以
解之，得<m<1.
即m的取值范围是.