2018年八年级数学上册暑期同步提高课程第二讲与三角形有关的线段和角讲义新人教版.doc

第二讲 与三角形有关的线段和角

1. 了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边或角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；
2. 会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心

3. 掌握三角形内角和定理及推论；

4. 按要求解决三角形的边、角的计算问题

1. 三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；

2. 通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和

1. 三角形的分类：

ì不等边三角形
í等腰三角形í
①按边分类：三角形ï ì底边和腰不相等的等腰三角形
î
ï î等边三角形
ì直角三角形
í斜三角形í
②按角分类：三角形ï ì钝角三角形
î
ï î锐角三角形
2. 三角形的高、中线、角平分线

（1） 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角 形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心.
（2） 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.

（3） 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫 做三角形的角平分线。
3. 三角形的内角与外角

（1） 三角形的内角：

ü 定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.
ü 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°.

17

ü 三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系。
（2） 三角形的外角

ü 定义：三角形一边与另一边延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形外角和为 360°。
ü 性质：①三角形一个外角等于与它不相邻两内角和。②三角形一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
4. 三角形的三边关系

（1） 三边关系性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反 应了任意三角形边的限制关系.
（2） 三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这 三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围。
考点/易错点 1
关于三角形的高的注意事项：

（1） 三角形的高线是一条线段；

（2） 锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形 的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，它们的交点是直角的顶点，另一条在三角形的内部。
考点/易错点 2
关于三角形的中线的注意事项：

（1） 三角形的中线是一条线段；

（2） 三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形；

（3） 三角形三条中线交于一点，这一点叫做三角形的重心.

考点/易错点 3
关于三角形的角平分线的注意事项：

（1） 三角形的角平分线是一条线段；

（2） 三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫做三角形的内心.

考点/易错点 4
三角形的外角特点：

（1） 外角的顶点是三角形的一个顶点；

（2） 外角的一条边是三角形的一边；

（3） 外角的另一条边是三角形某条边的延长线.

考点/易错点 5
三角形三边关系注意：

①这里的“两边”指的是任意两边.对“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；

②三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用。

【例 1】过 A、B、C、D、E 五个点中任意三点画三角形；

（1） 其中以 AB 为一边可以画出 个三角形；（2）其中以 C 为顶点可以画出 个三角形．

【答案】（1）如图，以 AB 为一边的三角形有△ ABC、△ ABD、△ ABE 共 3 个；
（2） 如图，以点 C 为顶点的三角形有△ ABC、△ BEC、△ BCD、△ ACE、△ ACD、△ CDE 共 6 个．
【解析】考查了三角形的定义，以及网格结构的知识，根据网格结构作出图形是解题的关键．
【例 2】已知 BD 是△ABC 的一条中线，△ABD 与△BCD 的周长分别为 24，17，则 AB﹣BC 的长是 ．
【答案】∵BD 是△ABC 的一条中线，∴AD=CD，
∴△ABD 与△BCD 的周长的差=（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD）
=AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD=AB﹣BC，

∵△ABD 与△BCD 的周长分别为 24，17，∴AB﹣BC=24﹣17=7．
【解析】考查了三角形的中线，求出两个三角形的周长的差等于 AB﹣BC 是解题的关键。

【例 3】如图，在正方形 ABCD 中，BD=2，∠DCE 是正方形 ABCD 的外角，
P 是∠DCE 的角平分线 CF 上任意一点，则△PBD 的面积等于（ ）

A．
1
B．
1.5
C．
2
D．
2.5
【答案】A．△PBD 的面积等于 1 ´ 2 ´1 =1．
2
【解析】考查了三角形面积公式以及代入数值求解的能力，注意平行线间三角形同底等高．

【例 4】手工课上，小明用螺栓将两端打有孔的 5 根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了．于
是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（ ）
A．
1 个
B．
2 个
C．
3 个
D．
4 个

【答案】A．如图：A 点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边．
【解析】三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等， 因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．

【例 5】△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，G 是重心．如果 AG=6，则线段 DG
的长为（ ）

A．
2
B．
3
C．
6
D．
12

【答案】B．∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的 2 倍，∴DG= 1
2

AG=3．

【解析】三角形的重心的性质：三角形重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的 2 倍．

【例 6】如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为 2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，
则任两螺丝的距离之最大值为何（ ）

A．
5
B．
6
C．
7
D．
10

【答案】C．解：已知 4 条木棍的四边长为 2、3、4、6；
①选 2+3、4、6 作为三角形，则三边长为 5、4、6；5﹣4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为 6；
②选 3+4、6、2 作为三角形，则三边长为 2、7、6；6﹣2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为 7；
③选 4+6、2、3 作为三角形，则三边长为 10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选 2+4、3、6 作为三角形，则三边长为 6、3、6；而 6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为 6；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为 7．

【解析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．

【例 7】BP、CP 分别平分∠ABC、∠ACB，请你探索∠A 和∠P 的数量关系． 解：∵BP 平分∠ABC（已知），∴∠PBC= 1 ∠ABC （ ）．
2
同理可得∠PCB= 1 ∠ACB。
2
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°（ ）
∴∠BPC=180°﹣∠PBC﹣∠PCB （等式的性质）
=180°﹣ 1 （∠ABC+∠ACB ） （ ）
2
=180°﹣ 1 （180°﹣∠ ）

2
=90°+ 1 ∠ ．

2
【答案】∵BP 平分∠ABC（已知），∴∠PBC= 1 ∠ABC（角平分线的定义）．
2

同理可得∠PCB= 1 ∠ACB，∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°（三角形的内角和等于 180°）
2
∴∠BPC=180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）
=180°﹣ 1 （∠ABC+∠ACB ）（等量代换）=180°﹣ 1 （180°﹣∠A）=90°+ 1 ∠A．
2 2 2
【解析】根据角平分线的定义、△ BPC 的内角和定理求得求解．

1. 不一定在三角形内部的线段是（ ）

A．
三角形的角平分线
B．
三角形的中线
C．
三角形的高
D．
三角形的中位线

2. 如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为 2，宽为 1，A、B 两点在网格格点上，若点 C 也在网格格点上，以 A、B、C 为顶点的三角形面积为 2，则满足条件的点 C 个数是（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

3. 三角形的重心是三角形的（ ）

A．
三条中线的交点
B．
三条角平分线的交点
C．
三边垂直平分线的交点
D．
三条高所在直线的交点

4. △ ABC 的面积为 60，点 0 是重心，连接 BG 并延长交 AC 于 D，连接GA，则△ GAB 的面积为（ ）
A．
40
B．
30
C．
20
D．
10
5. 有 3cm，6cm，8cm，9cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

1. △ABC 角平分线 AD、中线 BE 相交于点 O，则①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是
△ABD 的中线；③DE 是△ADC 的中线；④ED 是△EBC 的角平分线结论中正确的有（ ）

A．
1 个
B．
2 个
C．
3 个
D．
4 个

2. 在现实的生产、生活中有以下四种情况：

①用“人”字梁建筑屋顶； ②自行车车梁是三角形结构；

③用窗钩来固定窗扇； ④商店的推拉防盗铁门． 其中用到三角形稳定性的是（ ）
A．
①②
B．
②③
C．
①②③
D．
②③④

形具有稳定性；综上所述，用到三角形稳定性的是①②③．

3. 要判断△ABC 的面积是△DBC 的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是（ ）
A．
3 次以上
B．
3 次
C．
2 次
D．
1 次

4. 在△ ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，G 是重心，如果 DG=2，那么线段 AD 的长是（ ）
A．
2
B．
3
C．
6
D．
12

5. O 是△ ABC 的重心，则图中与△ ABD 面积相等的三角形个数为
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6

6. 如图①，BO、CO 分别为∠ABC 和∠ACB 的平分线，我们易得∠BOC=90°+ 1 ∠A；
2
在图②中，当 BO′、CO′分别为∠ABC 和∠ACB 的外角平分线时，求∠BO′C 与∠A 的数量关系．我们可以利用“转化”的思想，将未知的∠BO′C 转化为已知的∠BOC：如图②，作 BO、CO 平分∠ABC 和∠ACB．

（1） 在图②中存在如图③的基本图形：点 A、B、D 在同一直线上，且 BO、BO′分别平分∠ABC 和∠DBC，试证明：BO⊥BO′；
（2） 试直接利用上述基本图形的结论，猜想并证明图②中∠BO′C 与∠A 的数量关系；
（3） 如图④，BP、CP 分别为内角∠ABC 和外角∠ACF 的平分线，猜想并证明∠BPC 与∠A 的数量关系．

7. 如图（1）所示，一副三角板中，含 45°角的一条直角边 AC 在 y 轴上，斜边 AB 交 x 轴于点 G．含 30°角的三角板的顶点与点 A 重合，直角边 AE 和斜边 AD 分别交 x 轴于点 F、H．
（1） 若 AB∥ED，求∠AHO 的度数；

（2） 如图 2，将三角板 ADE 绕点 A 旋转．在旋转过程中，∠AGH 的平分线 GM 与∠AHF 的平分线 HM 相交于点 M，∠COF 的平分线 ON 与∠OFE 的平分线 FN 相交于点 N．
①当∠AHO=60°时，求∠M 的度数；
②试问∠N+∠M 的度数是否发生变化？若改变，求出变化范围；若保持不变，请说明理由．