2022-2022学年高中数学人教A版必修4学案：平面向量的正交分解及坐标表示-平面向量的坐标运算.doc

2.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
2．3.3　平面向量的坐标运算

考试标准

课标要点
学考要求
高考要求
正交分解的概念
a
a
向量的坐标表示
b
b
平面向量的加、减与数乘运算的坐标表示
b
b
平面向量共线的坐标表示
b
b

知识导图

学法指导
1.学习了本节后，可以知道向量有三种表示方法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法．
2．向量的坐标运算是一种代数运算，其加、减及数乘的实质是同名坐标之间的运算.

1.平面向量的正交分解
把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)向量的直角坐标
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则把有序数对a＝(x，y)叫作向量a的坐标．
(2)向量的坐标表示
在向量a的直角坐标中，x叫作a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，(x，y)叫作向量的坐标表示．
(3)在向量的直角坐标中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
　1.对平面向量坐标的几点认识
(1)设＝x＋y(O为坐标原点)，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)．因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．
(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．
2．符号(x，y)的意义
符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)．
3．平面向量的坐标运算
(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)．
(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　)
(2)当向量的终点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．(　　)
(4)点的坐标与向量的坐标相同．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是(　　)
A．向量a的终点坐标为(－2,3)
B．向量a的起点坐标为(－2,3)
C．向量a与b互为相反向量
D．向量a与b关于原点对称
解析：因为a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，所以a＋b＝(－2,3)＋(2，－3)＝(0,0)＝0.所以a＝－b.
答案：C
3．已知M(2,3)，N(3,1)，则的坐标是(　　)
A．(2，－1)　 B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(1，－2)
解析：＝(2－3,3－1)＝(－1,2)．
答案：B
4．若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝________.
解析：＝＋＝－＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．
答案：(－2，－4)

类型一　求向量的坐标
例1　在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．

【解析】　设点A(x，y)，B(x0，y0)，
∵|a|＝2，且∠AOx＝45°，
∴x＝2cos 45°＝，且y＝2sin 45°＝.又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，
∴x0＝3cos 120°＝－，y0＝3sin 120°＝.故a＝＝(，)，b＝＝.
由于向量，的起点在坐标原点，因此只需求出终点A，B的坐标．　　　

方法归纳
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
跟踪训练1　如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；＝________；＝________.

解析：由题意知，＝－＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以＝(1，－1)，同理＝(－1,1)．
答案：(1，－1)　(1,1)　(－1,1)
结合图形可知＝－，由正方形的对称性可知B，D点坐标.
类型二　平面向量的坐标运算
例2　(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A.(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a,2a＋3b的坐标．
【解析】　(1)方法一　设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.
方法二　＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故选A.
(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．
【答案】　(1)A　(2)见解析
方法一先求C点坐标，再求.
方法二先求，再求.

方法归纳
平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．

跟踪训练2　(1)已知A、B、C的坐标分别为(2，－4)、(0,6)、(－8,10)，则＋2＝____________，－＝____________；
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,1)，若用a和b表示c，则c＝____________.
解析：(1)∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，
∴＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，
∴＋2＝(－18,18)，－＝(－3，－3)．
(2)设c＝xa＋yb，则(x,2x)＋(－2y,3y)＝(x－2y,2x＋3y)＝(4,1)．
故解得所以c＝2a－b.
答案：(1)(－18,18)　(－3，－3)　(2)2a－b
(1)先求，，坐标，再计算＋2，－的值．
(2)设＝x＋y，建立方程组，求出x，y.
类型三　向量坐标运算的应用
例3　已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及＝＋t.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【解析】　(1)＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在第二象限，则所以－＜t＜－.
(2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，则＝，所以该方程组无解．
故四边形OABP不能为平行四边形．

(1)＝(1＋3t,2＋3t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解．
(2)若四边形OABP为平行四边形，则有＝.

方法归纳
向量中含参数问题的求解策略
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．

跟踪训练3　若保持本例条件不变，B为线段AP的中点，则t＝______.
解析：由＝＋t，得＝t.所以当t＝2时，＝2，B为线段AP的中点．
答案：2
由B是AP的中点，得＝2，求出t的值．

[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是(　　)
A．(1，－2) B．(7,6)
C．(5,0) D．(11,8)
解析：因为＝(4,2)，＝(3,4)，
所以2＋＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．
答案：D
2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是(　　)
A．(－4,2) B．(－4，－2)
C．(4,2) D．(4，－2)
解析：3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．
答案：D
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝(　　)
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
解析：b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
答案：A
4．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由平面向量基本定理知①正确；若a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．
答案：A
5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A. B.
C．(3,2) D．(1,3)
解析：设点D(m，n)，则由题意知，(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故解得
即点D，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在平面直角坐标系内，已知i、j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量用坐标表示a＝________.
解析：由于i，j是两个互相垂直的单位向量，所以a＝(1，－2)．
答案：(1，－2)

7．如右图所示，已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则向量的坐标为________．
解析：设点A(x，y)，则x＝||·cos60°＝4cos 60°＝2，
y＝||·sin 60°＝4sin 60°＝6，
即A(2，6)，所以＝(2，6)．
答案：(2，6)
8．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝________.
解析：易得＝(2,0)，
由a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等得解得x＝－1.
答案：－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标．

解析：由图形可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6,2)，＝(2,4)，＝(－4,2)．
10．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c.
(1)求p的坐标 ；
(2)若以a，b为基底，求p的表达式．
解析：(1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．
(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，
所以
所以所以p＝－a－15b.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若第三象限的点P满足＝＋λ，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B.
C. D.
解析：方法一　设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，
又＝＋λ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
于是由＝＋λ可得，
(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以即
因为点P在第三象限，所以解得λ＜－1.
故所求实数λ的取值范围是(－∞，－1)．
方法二　＝＋＝＋＋λ
＝＋λ＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，
所以P(5＋5λ，4＋7λ)，
因为点P在第三象限，所以所以λ＜－1.
答案：A
12．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________．(只填序号)

①＝2i＋3j；
②＝3i＋4j；
③＝－5i＋j；
④＝5i－j.
解析：i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故①③④正确．
答案：①③④
13．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，
∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
解析：(1)设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，
即A(2，6)，
所以＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
14．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
解析：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以
所以
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1.
所以M.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以所以