2022-2022学年高二数学下学期期末备考试卷理含解析.docx

2020-2021学年下学期高二期末备考卷理科数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为全集，，所以，故选B．
2．已知，．为虚数单位，，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【解析】由，得，所以，
解得，，
所以，故选A．
3．已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，，即；
，即，
两直线的斜率相等，所以，即“”是“”的充分条件；
当时，，解得或．
当时，两直线方程不同，符合题意；
当时，，，即，不符合题意，
所以，当时，，即“”是“”的必要条件，
综上所述，“”是“”的充要条件，故选C．
4．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，故选C．
5．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
所以，故选D．
6．已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，则，
则，故选B．
7．函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以定义域为，关于原点对称，
因为，所以为奇函数，排除A、B；
又因为当时，，排除C，
故选D．
8．设数列的前n项和为，若，则（ ）
A．243 B．244 C．245 D．246
【答案】B
【解析】由题得，，
由题得，
所以，，
所以数列是一个以2为首项，以3为公比的等比数列，
所以，
，
所以，故选B．
9．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】甲、乙总的选课方法有：种，
甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：种，
（先选一门相同的课程有种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余门课程中选取门，另一人选取剩余的门课程即可，故有种选法）
所以概率为，故选C．
10．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长等于8，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线方程为，即，
圆，即为，
圆心为，半径为5，
圆心到渐近线的距离为，
由弦长公式可得，化简可得，
，则，故选D．
11．与曲线和都相切的直线与直线垂直，
则b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因直线与直线垂直，则直线的斜率为3，
设直线与曲线相切的切点，
而，则，解得，
即直线过点，方程为，
设直线与曲线相切的切点，有，
由，得，
从而有点，
而点P在直线上，即，解得，故选D．
12．用数学归纳法证明“”时，假设时命题成立，
则当时，左端增加的项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，左边为，
当时，左边为，
所以增加的项为
，
故选D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．的展开式中的系数_________．
【答案】
【解析】展开式通项公式为，
令，得，
所以所求系数为，故答案为．
14．如图所示，在四边形中，已知，，，，，__________．
【答案】
【解析】在中，，，，
由余弦定理可得，
即，解得或（舍），
又，所以，
在中，，，，
由正弦定理可得，所以，
故答案为．
15．已知x，y满足约束条件，则的最大值是_________．
【答案】2
【解析】作出可行域，如图内部（含边界），
代入，得，即，
，表示可行域内动点与定点连线的斜率，
由图可得，
所以最大值为，故答案为2．
16．四面体的四个顶点都在球O上且，，
则球O的表面积为__________．
【答案】
【解析】如图，取BC，AD的中点M，N，连接AM，MD，MN，
因为，所以，
又，故，则，
所以为等腰直角三角形，所以，
取MN上一点O，连接OC，OB，OA，OD，
因为，，只需使得，则点O为三棱锥外接球的球心，
设，则，
所以，解得，
所以，
故球O的表面积为，故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列的前项和为，，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答．
（1）求数列的通项公式；
（2）设等比数列满足，，求数列的前项和．
条件①：；条件②：；条件③：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】(不能选择①③作为已知条件)
若选择①②作为已知条件．
因为，，
所以数列是以为首项，公差的等差数列，
所以．
若选择②③作为已知条件．
因为，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
因为，所以，
所以，解得，
所以．
（2）设等比数列的公比为，结合（1）可得，，
所以，所以．
所以等比数列的通项公式为．
所以，
所以
．
18．（12分）2021年2月25日举行的全国脱贫攻坚总结表彰大会上，国家电网共有23名（个）先进个人、先进集体获得表彰．其中，国网西藏电力有限公司农电工作部从习近平总书记手中接过了“全国脱贫攻坚楷模”奖牌．过去8年，在党中央坚强领导下，经过世界规模最大、力度最强的脱贫攻坚战，近1亿人摆脱绝对贫困．长期以来贫困地区的农产品面临“种得出卖不出”“酒香也怕巷子深”的困境．深谙互联网思维的国家电网人，搭平台、建渠道，以一款APP让众多贫困地区的产品销售易如反掌．2020年“6．18”期间，带货主播和直播运营两大岗位高达去年同期的倍．针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出100次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对商品和服务都做出好评的交易为40次，对商品和服务部不满意的交易为5次．
（1）请完成关于商品和服务评价的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关?

对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
40

对商品不满意

5

合计

100
（2）从“对服务不满意”的评价中分层选出10个，再从这10个评价中随机选出6个，记其中“对商品不满意”的个数为，求的分布列及数学期望．
附：，．

【答案】（1）列联表见解析，能；（2）分布列见解析，．
【解析】（1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：

对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
40
20
60
对商品不满意
35
5
40
合计
75
25
100
，
故能在犯错误的概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关．
（2）由（1）得从“对服务不满意”的评价中分层选出的10个评价中，“对商品好评”的有8个，
“对商品不满意”的有2个，故的所有可能取值为0，1，2，
，，，

0
1
2

所以．
19．（12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，试在棱上确定一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【答案】（1）证明见解析；（2）点在靠近点的三等分点处时，面与面所成锐二面角的余弦值为．
【解析】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，且AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD．
又AB⊥PD，AD∩PD＝D，∴AB⊥平面PAD，
又AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．
（2）由（1）知：在平面PAD内过点A作AE⊥AD，则AE⊥平面ABCD，
以为正交基底建立空间直角坐标系如图所示，
则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，6，0)，D(0，6，0)，P(0，3，3)，
∴，，，
设，则，可得，
∵，∴AP⊥PD，
又AB⊥PD，AP∩AB＝A，
∴PD⊥平面PAB，则是平面PAB的一个法向量，
设面MAC的一个法向量为，则，即，
令，有，
∴，则，解得，即，
点在靠近点的三等分点处．
20．（12分）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为，所以，
由，可得，解得，，
故双曲线的标准方程为．
（2）设，，AB中点的坐标为，
则①，②，
②①得，即，
又，所以，
所以直线的方程为，即．
21．（12分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若对于任意的都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，所以切线的斜率．
因为，即切点为，
所以切线的方程．
（2）解法1：由已知，对于任意的，都成立，
即对于任意的，都成立．
当时，显然成立；
当时，对于任意的，都成立．
设，则，
而．
设，则．
由，得在区间上恒成立，
所以函数在区间上是减函数，且．
所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
所以函数在区间上是减函数，
所以当时，，
所以实数的取值范围是．
解法2：设，则．
（1）当时，，函数在区间上是增函数．
当时，，所以在区间上恒成立，
所以函数在区间上是增函数，所以．
即对于任意的都成立．
（2）当时，令，即，解得．
①当时，，则，所以函数在区间上是增函数．
当时，，所以在区间上恒成立，
所以函数在区间上是增函数，所以，
即对于任意的都成立；
②当时，．
当变化时，的变化情况如下表：

+

极小值

所以当时，，
所以在区间上恒成立，
所以函数在区间上是增函数，
所以，
即对于任意的都成立；
③当时，，
所以在区间上恒成立，
所以函数在区间上是减函数，
因为，,
所以，使，即．
当变化时，的变化情况如下表：

0

1

+

2

极大值

当，即时，对于任意都成立，
所以，
综上所述，实数的取值范围是．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）已知点，直线与曲线交于两点，求．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由，得，
即直线的普通方程为．
由，得．
因为，，所以，
故曲线的直角坐标方程为．
（2）直线的参数方程为（为参数），
化为标准形式（为参数），
代入，得．
设对应的参数分别为，，则，．
可知异号，
所以．
因为，所以．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）当x∈M时，，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
当时，；
当时，由，得，
综上所述，不等式的解集M为．
（2）由（1）得，当时，，
那么，从而可得，解得，
即实数a的取值范围是．