2022-2022学年高中数学提能综合素养一三角函数北师大版必修.doc

提能综合素养〔一〕 三角函数
1．sin ＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析：选B　sin ＝sin＝sin＝－sin ＝－.
2．设角α的终边与单位圆相交于点P，那么sin α－cos α的值是(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：选C　由三角函数的定义，得sin α＝－，cos α＝，∴sin α－cos α＝－－＝－，故答案为C.
3．ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，那么 φ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由于直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
又0<φ<π，所以φ＝.
4．曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，那么下面结论正确的选项是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D　易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图像，再把所得函数的图像向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图像，即曲线C2.
5．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像的相邻两对称中心的距离为π，且f＝f(－x)，那么函数y＝f是(　　)
A．偶函数且在x＝0处取得最大值
B．偶函数且在x＝0处取得最小值
C．奇函数且在x＝0处取得最大值
D．奇函数且在x＝0处取得最小值
解析：选A　由f(x)的图像的相邻两对称中心的距离为π，得ω＝1.又由f＝f(－x)，知图像关于直线x＝对称，从而得φ＝，所以f(x)＝Asin.从而y＝f＝Acos x，显然应选A.
6．函数f(x)＝Asin的局部图像如下图，P，Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(2，A)，点R的坐标为(2,0)．假设∠PRQ＝，那么y＝f(x)的最大值及φ的值分别是(　　)
A．2， B.，
C.， D．2，
解析：选A　由题意，x＝2时，y＝f(x)取最大值A，
∴sin＝1.又0<φ<，∴φ＝.
假设∠PRQ＝，那么∠SRQ＝.
而周期为＝12，故Q(8，－A)，
∴＝tan，∴A＝2，y＝f(x)的最大值及φ的值分别是2，.
7．假设α＝2 018°，那么与α具有相同终边的最小正角为________．
解析：与α具有相同终边的角为β＝k·360°＋2 018°，当k＝－5时，β为最小正角，即218°.
答案：218°
8．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝1所得线段长为，那么f的值是________．
解析：由题意知＝，∴ω＝4.∴f＝tan ＝.
答案：
9．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，那么φ＝________.
解析：将y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移个单位后得到y＝cos的图像，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin.由题意可知φ－＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π知φ＝.
答案：
10．＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)假设角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－，可知sin α<0，
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
所以角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝＝－.
11．化简：
(1)＋；
(2)cos＋cos(k∈Z)．
解：(1)原式＝＋
＝－sin α＋sin α＝0.
(2)当k＝2n，n∈Z时，
原式＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝cos＋cos＝2cos；
当k＝2n＋1，n∈Z时，
原式＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝－cos－cos＝－2cos.
12．函数f(x)＝cos(πx＋φ)的局部图像如下图．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝.
因为0<φ<，故φ＝.
由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x0<2，
故<πx0＋<.
由f(x0)＝得cos＝，
所以πx0＋＝，x0＝.
(2)因为f＝cos＝cos＝－sin πx，
所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx
＝cos πxcos－sin πxsin －sin πx
＝cos πx－sin πx－sin πx＝cos πx－sin πx
＝sin.
当x∈时，－≤－πx≤.
所以－≤sin≤1，
故－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；
当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.