2022年北京市东城区初三数学二模试题及答案.docx

北京市东城区2022--2022学年第二学期初三综合练习〔二〕
数 学 试 卷
学校姓名考号
考
生
须
知
1.本试卷共5页，共五道大题，25道小题，总分值120分.考试时间120分钟.
2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5.考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回.
一、选择题〔此题共32分，每题4分〕
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1. 的绝对值是
A. B. C. 2 D. -2
2. 以下运算中，正确的选项是
A． B． C． D．
3．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，摸到黄球的概率是
A． B． C． D．
4．D
C
B
A
以下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
O
x
y

5． 假设一个正多边形的一个内角等于150°，那么这个正多边形的边数是
A．9 B．10 C．11 D．12
6. 在“我为震灾献爱心〞的捐赠活动中，某班40位同学捐款金额统计如下：
金额〔元〕
20
30
35
50
100
学生数〔人〕
3
7
5
15
10
那么在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数是
A．30，35 B．50，35 C．50，50 D．15，50
7．反比例函数的图象如下列图，那么一元二次方程根的情况是
A．没有实根 B． 有两个不等实根
C．有两个相等实根 D．无法确定
8.用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，假设函数，那么y的图象为
二、填空题〔此题共16分，每题4分〕

9. 反比例函数的图象经过点〔－2，1〕，那么k的值为_______．
10. 一个几何体的三视图如下列图，那么该几何体是. 主视图左视图
俯视图
11. 如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处．
使斜边CD∥AB，那么∠a的余弦值为__________．

A
H
B
O
C

12. 如图，中，，，，
分别为边的中点，将绕点顺时针旋
转到的位置，那么整个旋转过程中线段所扫过
局部的面积〔即阴影局部面积〕为．
三、解答题〔此题共30分，每题5分〕
13. 先化简，再求值：，其中．
14. 解分式方程： ．

y
x
O
A
B
C

15．如图，点A、B、C的坐标分别为〔3，3〕、〔2，1〕、〔5，1〕，将△ABC先向下平移4个单位，得△A1B1C1；再将△A1B1C1沿y轴翻折，得△A2B2C2.
〔1〕画出△A1B1C1和△A2B2C2；
〔2〕求线段B2C长.
16. 如图，点在上，交于点，，．
求证：．
A
B
C
D
E
F

17. 列方程或方程组解应用题
为了配合学校开展的“保护地球母亲〞主题活动，初三(1)班提出“我骑车我快乐〞的口号. “五一〞之后小明不用父母开车送，坚持自己骑车上学. 五月底他对自己家的用车情况进行了统计，5月份所走的总路程比4月份的还少100千米，且这两个月共消耗93号汽油260升. 假设小明家的汽车平均油耗为0.1升/千米，求他家4、5两月各行驶了多少千米.
18．如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB=2，AD=1，点Q的坐标为(0，2)．
〔1〕求直线QC的解析式；
〔2〕点P(a，0)在边AB上运动，假设过点P、Q的直线将矩形ABCD的周长分成3∶1两局部，求出此时a的值．
四、解答题〔此题共20分，每题5分〕
19. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BD是∠ABC的平分线.
〔1〕求证：AB=AD；
〔2〕假设∠ABC＝60°，BC=3AB，求∠C的度数
20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且ÐAED=45°．
(1) 试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2) 假设⊙O的半径为3，sinÐADE=，求AE的值．
21．某商店在四个月的试销期内，只销售A，B两个品牌的电视机，共售出400台．试销结束后，将决定经销其中的一个品牌．为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图l和图2．
(1)第四个月销量占总销量的百分比是_______；
(2)在图2中补全表示B品牌电视机月销量的折线图；
(3)经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相同，请你结合折线的走势进行简要分析，判断该商店应经销哪个品牌的电视机．
图1 图2
22. 如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD〔如图2〕，然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴〔要求包贴时没有重叠局部〕，纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图4的侧面展开图.为了得到裁剪的角度,我们可以根据展开图拼接出符合条件的平行四边形进行研究.
〔1〕请在图4中画出拼接后符合条件的平行四边形；
〔2〕请在图2中，计算裁剪的角度〔即∠ABM的度数〕.
图1

图2

五、解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕
23.关于x的一元二次方程，.
〔1〕假设方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；
〔2〕假设a∶b=2∶，且，求a，b的值；
〔3〕在〔2〕的条件下，二次函数的图象与x轴的交点为A、C〔点A在点C的左侧〕，与y轴的交点为B，顶点为D.假设点P〔x，y〕是四边形ABCD边上的点，试求3x－y的最大值.
24. 如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6. △ECD是△ABC沿CB方向平移得到的，连结AE，AC和BE相交于点O.
〔1〕判断四边形ABCE是怎样的四边形，并证明你的结论；
〔2〕如图2，P是线段BC上一动点〔不与点B、C重合〕，连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化假设变化，请说明理由；假设不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，以点P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．
〔1〕求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
〔2〕当BE经过〔1〕中抛物线的顶点时，求CF的长；
〔3〕在抛物线的对称轴上取两点P、Q〔点Q在点P的上方〕，且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．

B
C
A
x
y
F
O
D
E

北京市东城区2022--2022学年第二学期初三综合练习〔二〕
数学试卷参考答案
一、选择题〔此题共32分，每题4分〕
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
A
D
C
B
D
C
A
A
二、填空题〔此题共16分，每题4分〕
题 号
9
10
11
12
答 案
－2
圆柱

π
三、解答题：〔此题共30分，每题5分〕
13．〔本小题总分值5分〕
解:原式………………3分
.………………4分
当时，
原式.………………5分
14．〔本小题总分值5分〕
解：………………1分
去分母得 x-1+1=3〔x-2〕
解得 x=3.………………4分
经检验：x=3是原方程的根.
所以原方程的根为x=3.………………5分
15．〔本小题总分值5分〕
解：〔1〕A1点的坐标为〔3，－1〕，B1点的坐标为〔2，－3〕，C1点的坐标为〔5，－3〕；
A2 点的坐标为〔－3，－1〕，B2点的坐标为〔－2，－3〕，
C2点的坐标为〔－5，－3〕.
图略，每正确画出一个三角形给2分.
〔2〕利用勾股定理可求B2C＝.………………5分
16．〔本小题总分值5分〕
证明：∵，
∴∠A=∠ACF, ∠ADE=∠CFE. -------2分
A
B
C
D
E
F
在△ADE和△CFE中，
∠A=∠ACF，
∠ADE=∠CFE，
，
∴△ADE≌△CFE. --------4分
∴. ------5分
17．〔本小题总分值5分〕
解：设小刚家4、5两月各行驶了x、y千米. --------------------------1分
依题意，得 ----------------------------3分
解得 -------------------------------4分
答：小刚家4月份行驶1500千米，5月份行驶了1100千米. -----------5分
18．〔本小题总分值5分〕
解：〔1〕由题意可知 点C的坐标为〔1，1〕．
…………………………………1分
设直线QC的解析式为．
∵ 点Q的坐标为(0，2)，
∴ 可求直线QC的解析式为．…………………………………2分
〔2〕如图，当点P在OB上时，设PQ交CD于点E，可求点E的坐标为〔，1〕．
那么，．
由题意可得 ．
∴．…………………………………4分
由对称性可求当点P在OA上时，
∴ 满足题意的a的值为1或－1．…………………………………5分
四、解答题〔此题共20分，每题5分〕
19.〔本小题总分值5分〕
解：〔1〕证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2.
∵AD//BC，∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴AB=AD. ---------------------2分
〔2〕作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F.
∴EF=AD=AB.
∵∠ABC＝60°，BC=3AB，
∴∠BAE=30°.
∴BE=AB.
∴BF=AB=BC.
∴BD=DC.
∴∠C=∠2.
∵BD是∠ABD的平分线，
∴∠1=∠2=30°.
∴∠C=30°. -------------------------5分
20.〔本小题总分值5分〕
解：〔1〕CD与圆O相切．…………………1分
证明：连接OD，那么ÐAOD=2ÐAED =2´45°=90°．…………………2分
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC．
A
B
C
D
E
O
∴ÐCDO=ÐAOD=90°．
∴OD^CD．…………………3分
∴CD与圆O相切．〔2〕连接BE，那么ÐADE=ÐABE．
∴sinÐADE=sinÐABE=．…………………4分
∵AB是圆O的直径，
∴ÐAEB=90°，AB=2´3=6．
在Rt△ABE中，sinÐABE==．
∴AE=5 ．
21．〔本小题总分值5分〕
解：(1)30％； ……………………2分
(2)如下列图. ……………………4分
(3)由于月销量的平均水平相同，从折线的走势看，A品牌的月销量呈下降趋势，而B品牌的月销量呈上升趋势．所以该商店应经销B品牌电视机．…………………5分
22．〔本小题总分值5分〕
解：〔1〕将图4中的△ABE向左平移30cm，△CDF向右平移30cm，拼成如图下中
的平行四边形，此平行四边形即为图2中的□ABCD．…………………2分
〔2〕由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30．
∵纸带宽为15，
∴ sin∠ABM=．
∴∠AMB=30°．…………………5分
五、解答题：〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕
23．〔本小题总分值7分〕
解：(1)∵关于x的一元二次方程有实数根,
∴Δ=有a2-b2≥0,〔a+b〕〔a-b〕≥0.
∵,
∴a+b＞0,a-b≥0.
∴.…………………………2分
〔2〕 ∵a∶b=2∶，
∴ 设.
解关于x的一元二次方程，
得 .
当时，由得.
当时，由得〔不合题意，舍去〕.
∴.…………………………5分
〔3〕 当时，二次函数与x轴的交点为、C的交点坐标分别为A〔－6，0〕、〔－2，0〕，与y轴交点坐标为〔0，12〕，顶点坐标D为〔－4，－4〕.
设z＝3x－y ，那么.
画出函数和的图象，假设直线平行移动时，可以发现当直线经过点C时符合题意，此时最大z的值等于－6……………7分
24. 〔本小题总分值7分〕
解：〔1〕四边形ABCE是菱形.
证明：∵△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，
∴EC∥AB，EC＝AB.
∴ 四边形ABCE是平行四边形.
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCE是菱形.……………2分
〔2〕①四边形PQED的面积不发生变化，理由如下：
由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，
∴S△PBO＝ S△QEO
∵△ECD是由△ABC平移得到的，
∴ED∥AC，ED＝AC＝6.
又∵BE⊥AC，
∴BE⊥ED
∴S四边形PQED＝S△QEO＋S四边形POED＝S△PBO＋S四边形POED＝S△BED
＝×BE×ED＝×8×6＝24.……………4分
②如图，当点P在BC上运动，使以点P、Q、R为顶点的三角形与△COB相似.
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3.
∴∠2不与∠3对应 .
∴∠2与∠1对应 .
即∠2＝∠1，∴OP=OC=3.
过O作OG⊥BC于G，那么G为PC的中点 .
可证 △OGC∽△BOC.
∴CG:CO＝CO:BC.
即 CG:3＝3:5.
∴CG=.
∴PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝.
∴BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10.
∴x＝
∴BP＝.……………7分
25．〔本小题总分值8分〕
解：〔1〕由题意得A〔0，2〕、B〔2，2〕、C〔3，0〕.
设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2.
那么
解得

B
C
A
x
y
F
O
D
E
H
MH
GH
∴．……………2分
〔2〕由＝．
∴顶点坐标为G〔1，〕．
过G作GH⊥AB，垂足为H．
那么AH＝BH＝1，GH＝－2＝．
∵EA⊥AB，GH⊥AB，
∴EA∥GH．
∴GH是△BEA的中位线 ．
∴EA＝3GH＝．
过B作BM⊥OC，垂足为M．
那么MB＝OA＝AB．
∵∠EBF＝∠ABM＝90°，
∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF．
∴R t△EBA≌R t△FBM．
∴FM＝EA＝．
∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，
∴CF＝FM＋CM＝．……………5分
〔3〕要使四边形BCGH的周长最小，可将点C向上
平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C1，
得点C1的坐标为〔－1，1〕．
可求出直线BC1的解析式为．
直线与对称轴x＝1的交点即为点H，坐标为〔1，〕．
点G的坐标为〔1，〕．……………8分