2022-2022学年高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示练习含解析北师大版必修4.doc
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§6 平面向量数量积的坐标表示 填一填 1.平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示: 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a·b=________. (2)模、夹角、垂直的坐标表示: 2.直线的方向向量 (1)定义:与直线l________的非零向量m称为直线l的方向向量. (2)性质:给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m=________. 判一判 1.直线x+2y-1=0的方向向量为(1,2).( ) 2.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.( ) 3.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2).( ) 4.||的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的.( ) 5.假设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,那么x1x2+y1y2>0,反之,假设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,那么它们的夹角为锐角.( ) 6.在△ABC中,=(1,1),=(-4,3),·=-1<0,那么△ABC为钝角三角形.( ) 7.在直角△ABC中,=(1,1),=(-4,m),那么m=4.( ) 8.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a·b=x1x2-y1y2.( ) 想一想 1.对数量积的坐标表示的理解? 提示:(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)引入坐标运算后,使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来,从而使得向量的工具性作用更强. (3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题,用向量的坐标运算来实现几何问题的求解,数形结合的思想在数量积的应用中将表达更多. 2.对向量模长公式的理解? 提示:(1)模长公式是数量积的坐标表示a·b=x1x2+y1y2的一种特例,当a=b时,那么可得|a|2=x2+y2. (2)假设点A(x1,y1),B(x2,y2),那么=(x2-x1,y2-y1),所以||=,即||的实质是A,B两点间的距离或线段AB的长度,这也是模的几何意义. 思考感悟: 练一练 1.a=(-3,4),b=(5,2),那么a·b的值是( ) A.23 B.7 C.-23 D.-7 2.a=(-2,1),b=(x,-2),且a⊥b,那么x的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.a=(1,),b=(-2,0),那么|a+b|=________. 4.a=(-4,3),b=(1,2),那么2|a|2-3a·b=________. 知识点一 数量积的坐标运算 1.设向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量c=(3,2),那么向量(a+2b)·c=( ) A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11 2.向量b与向量a=(1,-2)的方向相反,且|b|=3. (1)求向量b的坐标; (2)假设c=(2,3),求(c-a)·(c-b)的值. 知识点二 向量的模 3.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a∥b,那么|a+b|=( ) A. B. C.2 D.5 4.点A(0,1),B(1,-2),向量=(4,-1),那么||=________. 知识点三 向量的夹角、垂直问题 5.设向量a=(x,1),b=(1,-),且a⊥b,那么向量a-b与b的夹角为( ) A. B. C. D. 6.点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1) 求证:AB⊥AD. (2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值. 综合知识 数量积的综合应用 7.设向量a=(1,),b=(m,),且a,b的夹角为锐角,那么实数m的取值范围是________. 8.向量a=,|b|=,a与b的夹角为. (1)求向量a在b方向上的投影; (2)求a-b与a+b的夹角的余弦值. 根底达标 一、选择题 1.向量a=(1,2),b=(2,x),且a·b=-1,那么x的值等于( ) A. B.- C. D.- 2.向量a=(4,3),2a+b=(3,18),那么a,b夹角的余弦值等于( ) A. B.- C. D.- 3.假设a=(2,3),b=(-4,7),那么a在b方向上的投影为( ) A. B. C. D. 4.向量a=(-1,2),b=(3,1),c=(k,4),且(a-b)⊥c,那么k=( ) A.-6 B.-1 C.1 D.6 5.向量a=(2,-2),那么向量a的单位向量是( ) A.(1,-1) B.(-1,1) C. D. 6.平面向量a=(2,4),b=(-1,2). 假设c=a-(a·b)b,那么|c|=( ) A.4 B.2 C.8 D.8 7.向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为,且m·n=-1,那么|n|=( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 8.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),那么该四边形的面积为( ) A. B.2 C.5 D.10 二、填空题 9.向量a=(1,2),b=(3,4),那么(a-b)·(2a+3b)=________. 10.向量a=(x,1),b=(1,2),c=(-1,5),假设(a+2b)∥c,那么|a|=________. 11.点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),那么向量在方向上的投影为________. 12.平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c,假设m=2a-b,n=a+c,那么向量m,n的夹角的大小为________. 三、解答题 13.a与b同向,b=(1,2),a·b=10. (1)求a的坐标; (2)假设c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c. 14.向量a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,-1). (1)假设|c|=3,且c∥a,求向量c的坐标; (2)假设b是单位向量,且a⊥(a-2b),求a与b的夹角θ. 能力提升 15.点O是锐角三角形ABC的外心,AB=8,AC=12,A=. 假设=x+y,求6x+9y的值. 16.在平面直角坐标系xOy中,A,B,C三点的坐标分别为A(2,-1),B(3,5),C(m,3). (1)假设⊥,求实数m的值; (2)假设A,B,C三点能构成三角形,求实数m的取值范围. §6 平面向量数量积的坐标表示 一测 根底过关 填一填 1.(1)x1x2+y1y2 (2) = x1x2+y1y2=0 2.(1)共线 (2)(1,k) 判一判 1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.× 6.× 7.× 8.× 练一练 1.D 2.A 3.2 4.44 二测 考点落实 1.解析:依题意可知, a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6), 所以(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2) =-5×3+6×2=-3. 答案:C 2.解析:(1)设b=-λa,λ>0, 那么b=(-λ,2λ). 那么|b|==3, 平方得λ2+4λ2=45, 解得λ=3或λ=-3(舍去). ∴b=(-3,6). (2)∵c-a=(2,3)-(1,-2)=(1,5), c-b=(2,3)-(-3,6)=(5,-3), ∴(c-a)·(c-b)=5+(-15)=-10. 3.解析:因为a=(x,1),b=(1,-2),且a∥b, 所以-2x-1×1=0,解得x=-. 所以a+b=+(1,-2) =, |a+b|==. 答案:B 4.解析:设C(x,y), ∵点A(0,1),向量=(4,-1), ∴=(x,y-1)=(4,-1), ∴解得x=4,y=0, ∴C(4,0), ∴=(3,2),||==. 答案: 5.解析:向量a=(x,1),b=(1,-), 且a⊥b,那么a·b=x-=0,得x=, ∴a-b=(,1)-(1,-)=(0,4),(a-b)·b=0×1+4×(-)=-4,|a-b|=4,|b|=2, 设向量a-b与b的夹角为θ, 那么cos θ===-, ∵0≤θ≤π,∴θ=. 答案:D 6.解析:(1)因为A(2,1),B(3,2),D(-1,4),=(1,1),=(-3,3), 所以·=1×(-3)+1×3=0, 所以⊥,即AB⊥AD. (2)因为⊥,四边形ABCD为矩形, 所以=,设C点的坐标为(x,y), 那么由=(1,1),=(x+1,y-4), 得解得 所以C点的坐标为(0,5), 从而=(-2,4),=(-4,2), 且||=2,||=2. ·=8+8=16, 设与的夹角为θ, 那么cos θ===, 所以矩形的两条对角线的夹角的余弦值为. 7.解析:因为a,b的夹角为锐角, 所以a·b=m+3>0,解得m>-3, 又当m=1时,〈a,b〉=0,不符合题意, 所以m>-3且m≠1. 答案:m>-3且m≠1 8.解析:(1)|a|==1, ∴向量a在b方向上的投影为|a|cos=. (2)由(1)知,a·b=, 设a-b与a+b的夹角为θ, 那么cos θ=, |a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=, 那么|a-b|=, |a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=, 那么|a+b|=, (a-b)·(a+b)=a2-b2=, cos θ==. 三测 学业达标 1.解析:因为a=(1,2),b=(2,x),所以a·b=(1,2)·(2,x)=1×2+2x=-1,解得x=-. 答案:D 2.解析:∵a=(4,3),∴2a=(8,6). 又∵2a+b=(3,18), ∴b=(-5,12), ∴a·b=-20+36=16. 又∵|a|=5,|b|=13, ∴cos〈a,b〉==,应选C. 答案:C 3.解析:设a与b的夹角为θ,那么cos θ===,∴a在b方向上的投影为|a|cos θ=×=. 答案:A 4.解析:∵a=(-1,2),b=(3,1),∴a-b=(-4,1),∵(a-b)⊥c,∴-4k+4=0,解得k=1. 答案:C 5.解析:向量a的单位向量是==. 答案:C 6.解析:因为a·b=2×(-1)+4×2=6, 所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8), 所以|c|==8. 答案:D 7.解析:cos===-,|n|=1.应选B. 答案:B 8.解析:·=(1,2)·(-4,2)=0,故⊥.故四边形ABCD的对角线互相垂直,面积S=||·||=××2=5. 答案:C 9.解析:方法一:因为a=(1,2),b=(3,4), 所以a·b=(1,2)·(3,4)=1×3+2×4=11, (a-b)·(2a+3b) =2a2+a·b-3b2 =2|a|2+a·b-3|b|2 =2(12+22)+11-3(32+42)=-54. 方法二:因为a-b=(1,2)-(3,4)=(-2,-2), 2a+3b=2(1,2)+3(3,4) =(2×1+3×3,2×2+3×4) =(11,16), 所以(a-b)·(2a+3b)=(-2,-2)·(11,16)=-2×11+(-2)×16=-54. 答案:-54 10.解析:∵a=(x,1),b=(1,2),∴a+2b=(x+2,5),又(a+2b)∥c,∴5(x+2)=-5,解得x=-3,∴a=(-3,1),∴|a|=. 答案: 11.解析:由题意得=(2,1),=(5,5),所以·=15,所以向量在方向上的投影为||cos〈,〉===. 答案: 12.解析:因为a∥b, 所以3x=4×9,所以x=12. 因为a⊥c,所以3×4+4y=0, 所以y=-3, 所以b=(9,12),c=(4,-3). m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设m,n的夹角为θ, 那么cos θ= = ==-, 因为θ∈[0,π],所以θ=, 即m,n的夹角为. 答案: 13.解析:(1)设a=λb=(λ,2λ)(λ>0), 那么a·b=λ+4λ=10,∴λ=2,∴a=(2,4). (2)∵b·c=1×2-2×1=0,a·b=10, ∴a(b·c)=0a=0,(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10). 14.解析:(1)设c=(x,y), 由|c|=3,c∥a可得 所以或 故c=(-3,3)或c=(3,-3). (2)因为|a|=,且a⊥(a-2b), 所以a·(a-2b)=0,即a2-2a·b=0, ∴a·b=1,故cos θ==, ∴θ=. 15.解析: 如下图,连接OA,过点O分别作OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E,那么D,E分别为AB,AC的中点. ∴·=(+)·=2=×82=32, ·=(+)·=2=×122=72. ∵A=, ∴·=8×12×cos=48. ∵=x+y, ∴·=x+y·, ·=x·+y, 即32=64x+48y,72=48x+144y, 联立解得x=,y=. ∴6x+9y=5. 16.解析:(1)由题意,有=(1,6),=(m-2,4),由⊥,得·=0,即(m-2)×1+4×6=0,解得m=-22. (2) 假设A,B,C三点能构成三角形,那么A,B,C三点不共线,即与不平行, 故1×4-6(m-2)≠0, 解得m≠,即实数m的取值范围是∪.- 配套讲稿:
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