2019_2020学年八年级数学上册第十三章轴对称13.3等腰三角形同步练习含解析新版新人教版.docx

第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形（练习）
一、单选题（共10小题）
1．设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据各类三角形的概念即可解答.
【详解】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系．
故选：C．
【点睛】本题考查各种三角形的定义，要明白等边三角形一定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形.
2．已知直角三角形中，角所对的直角边长是厘米，则斜边的长是( )
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
【答案】B
【解析】由于在直角三角形中30°角所对的直角边长是斜边的一半，根据已知条件即可求出斜边的长．
【详解】∵直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，
∴斜边的长是4厘米．
故选B．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，如果直角三角形的一个锐角为30°，那么它所对的直角边长度是斜边的一半．
3．（2019·重庆市永川区红炉镇红炉初级中学校初二期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD,则∠A的度数是（ ）

A．18° B．24° C．30° D．36°
【答案】D
【解析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD＝BC＝AD，
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，
设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝，
可得2x＝，
解得：x＝36°，
则∠A＝36°，
故选：D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
4．（2019·重庆市永川区红炉镇红炉初级中学校初二期中）一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（ ）
A．13 B．17 C．22 D．17或22
【答案】C
【解析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：①若4为腰长，9为底边长，由于4＋4＜9，则三角形不存在；
②9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为9＋9＋4＝22．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
5．（2019·龙口市第五中学初一期中）如图，三个等边三角形如图放置，若∠1=70°，则∠2+∠3=（　　）

A．110° B．105° C．100° D．95°
【答案】A
【解析】由图可知△ABC的三个外角的分别为60°+∠1，60°+∠2，60°+∠3，利用三角形的外角和是360°即可解决问题．
【详解】解：如图，

△ABC的外角和=60°+∠1+（60°+∠2）+（60°+∠3）=360°
即∠1+∠2+∠3=180°，
又∠1=70°，
所以∠2+∠3=110°．
故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角和定理，熟练掌握三角形的外角和定理是关键．
6．（2019·乐清育英学校初中分校初一期中）等腰三角形的两条边长分别9cm和12cm，则这个等腰三角形的周长是( )
A．30cm B．33cm C．24cm或21cm D．30cm或33cm
【答案】D
【解析】根据9cm和12cm可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
【详解】解：当9cm为腰时，三边为9cm，9cm，12cm，符合三角形三边关系定理，周长为：9+9+12=30 cm；
当12cm为腰时，三边为12cm，12cm，9cm，符合三角形三边关系定理，周长为：12+12+9=33cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，5，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
7．（2019·广东深圳外国语学校初二期末）等腰三角形的一个外角为110°，则它的顶角的度数是（　）
A．40° B．70°
C．40°或70° D．以上答案均不对
【答案】C
【解析】根据外角与相邻的内角的和为180°求这个内角的度数，再分这个角是顶角与底角两种情况讨论求解．
【详解】解：∵等腰三角形的一个外角是110°，
∴与这个外角相邻的内角是180°﹣110°＝70°，
①当70°角是顶角时，它的顶角度数是70°，
②当70°角是底角时，它的顶角度数是180°﹣70°×2＝40°，
综上所述，它的顶角度数是70°或40°．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的两底角相等的性质，要注意分两种情况讨论求解．
8．（2018·江苏泰兴市西城初级中学初二月考）等腰三角形的周长为13 cm，其中一边长为3 cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．7 cm B．3 cm
C．7 cm或3 cm D．8 cm
【答案】B
【解析】
当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．
当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．
则该等腰三角形的底边为3cm．
故选B．
9．（2018·延安市实验中学初二期末）在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AC=6，则BD=（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
【答案】C
【解析】

∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，
∵∠B=30°，∴∠DCB=60°，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=30°，
∵AC=6，∴AD=3，AB=12，∴BD=9.
故选C.
点睛：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半.
10．（2017·安徽初二期中）已知等腰三角形的一边等于3，一边等于7，那么它的周长等于（　　 ）
A．13 B．17 C．13或17 D．10或17
【答案】B
【解析】试题解析：当3为底时，其它两边都为7，
3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，
∵3+3=6<7，
所以不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有17.
故选B.
【点睛】三角形的任意两边之和大于第三边.

提升篇

二、填空题（共5小题）
11．（2019·四川中考真题）如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则_______度．

【答案】72．
【解析】根据五边形的内角和公式求出，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
，
，
，
同理，

故答案为：72
【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．
12．（2019·兰州市外国语学校初一期末）等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为___________.
【答案】4.5cm
【解析】此题要分情况考虑：3cm是底或3cm是腰．根据周长求得另一边，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断是否能够组成三角形．
【详解】当3cm是底时,则腰长是(12−3)÷2=4.5(cm)，此时能够组成三角形；
当3cm是腰时,则底是12−3×2=6(cm)，此时3+3=6，不能组成三角形，应舍去.
故答案为：4.5cm
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题关键在于分情况讨论
13．（2019·重庆南开融侨中学初一期末）如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，若AC=12，则DE=___________.

【答案】2
【解析】先根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠A=∠C=30°，根据线段垂直平分线性质和等腰三角形性质求出∠ABE=30°，根据含30度角的直角三角形性质可得CE=BE，继而求出AE长，再根据含30度角的直角三角形性质即可求得答案.
【详解】连接BE，
∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
∵AB的垂直平分线DE，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠EBC=120°-30°=90°，
∴CE=2BE，
∵AE+BE=AC=12，
∴AE=4，
又∵∠A=30°，∠ADE=90°，
∴DE=AE=2，
故答案为：2.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键.
14．（2019·四川中考真题）如图，在中，，点，都在边上，，若，则的长为_______.

【答案】9.
【解析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.
【详解】因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.
15．（2018·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初一期末）如图，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，∠C＝15°，∠BAD＝60°．若CD＝10，则AB的长度为_____．

【答案】5
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC＝10，根据三角形的外角的性质得到∠ADB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得到答案．
【详解】解：∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC＝10，
∴∠DAC＝∠C＝15°，
∴∠ADB＝30°，
又∠BAD＝60°，
∴∠B＝90°，
又∠ADB＝30°
∴AB＝AD＝×10＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

三、解答题（共2小题）
16．（2019·广西中考真题）如图，已知等腰顶角．
（1）在AC上作一点D，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：是等腰三角形．

【答案】（1）如图，点D为所作；见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据题意作AB的垂直平分线；
（2）根据题意求出，即可证明.
【详解】（1）解：如图，点D为所作；

（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.
17．（2018·厦门外国语学校海沧附属学校初二期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3cm，求BC的长．

【答案】9
【解析】在△ABC中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理得出∠B＝∠C＝30°，由AD⊥AC，∠C＝30°，得出CD＝2AD＝6，再证明∠BAD＝∠B＝30°，那么AD＝DB＝3，于是BC＝CD+BD＝9．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵∠BAC＝120°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝∠C＝30°．
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°．
∴DC＝2AD，∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°．
∴∠BAD＝∠B．
∴BD＝AD＝3．
∴BC＝BD+DC＝3BD＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．同时考查了等腰三角形的判定与性质．
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