2022-2022学年高中数学课时跟踪检测十二柱锥台的体积北师大版必修.doc

课时跟踪检测〔十二〕 柱、锥、台的体积
一、根本能力达标
1．假设长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，那么长方体的体积为(　　)
A．27 cm3　　　　　　　　　 B．60 cm3
C．64 cm3 D．125 cm3
解析：选B　长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 cm3.
2．某几何体的三视图如下图(单位：cm)，那么该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C　由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，
∴该几何体的体积为V＝×(2＋1)×2×2＝6.
3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为(　　)
A．6 B.
C．2 D．2
解析：选B　由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2，又因为底面积S＝，所以体积V＝Sh＝××2＝.
4．某几何体的三视图如下图(单位：cm)，那么该几何体的体积是(　　)
A．8 cm3 B．12 cm3
C. cm3 D. cm3
解析：选C　由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2 cm，高为2 cm的正四棱锥，体积V2＝×2×2×2＝(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝(cm3)．
5．一个几何体的三视图及尺寸如下图，那么该几何体的体积为(　　)
A．2π＋4 B．2π＋8
C．4π＋4 D．4π＋8
解析：选B　由三视图知该几何体的上面是一个半圆柱，下面是一个长方体，那么由三视图的尺寸知该几何体的体积为V＝1×2×4＋×π×12×4＝8＋2π.
6．过长方体一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长是2，那么这个长方体的体积是________．
解析：设过长方体一个顶点的三条棱长分别为x,2x,3x，由体对角线长为2，那么x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2.所以三条棱长分别为2,4,6.所以V长方体＝2×4×6＝48.
答案：48
7．一个几何体的三视图如下图(单位：m)，那么该几何体的体积为________m3.
解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为
V＝π×12×1×2＋π×12×2＝π.
答案：π
8．某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的半径为1，那么该几何体的体积为________．
解析：该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3×2×4－3××π×12＝24－.
答案：24－
9．假设圆锥的外表积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．
解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，
那么2πr＝πl，得l＝6r.
又S锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，
得r＝，
圆锥的高h＝·，
V＝πr2h＝π×××＝π.
10．如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．假设VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，求锥体的体积．
解：∵VM是棱锥的高，
∴VM⊥MC.
在Rt△VMC中，
MC＝＝＝3(cm)，
∴AC＝2MC＝6(cm)．
在Rt△ABC中，
BC＝ ＝＝2(cm)．
S底＝AB·BC＝4×2＝8(cm2)，
∴V锥＝S底h＝×8×4＝(cm3)．
∴棱锥的体积为cm3.
二、综合能力提升
1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　)
A．π　　　　　　　　 　 　 B．2π
C．4π D．8π
解析：选B　设圆柱的底面半径为r，
那么圆柱的母线长为2r，
由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，
所以r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.
2．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，那么四棱锥C­AA′B′B的体积是(　　)
A.　　 B.
C.　　 D.
解析：选C　∵VC­A′B′C′＝V柱＝，
∴VC­AA′B′B＝1－＝.
3．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积为(　　)
A. B.
C．2＋ D．3＋
解析：选B　根据三视图，可得该几何体是上部为三棱柱、下部为长方体的组合体，且三棱柱的底面是底边长为1，底边上的高为1的等腰三角形，三棱柱的高是3，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高是2，所以该几何体的体积为V三棱柱＋V长方体＝×1×1×3＋1×1×2＝.应选B.
4．某工件的三视图如下图，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，那么原工件材料的利用率为
(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由三视图知原工件为一圆锥，底面半径为1，母线长为3，那么高为＝2，设其内接正方体的棱长为x，那么＝，∴x＝.
∴V新工件＝x3＝.
又V原工件＝π×12×2＝，
∴＝＝.应选A.
5．三棱锥S ­ABC的棱长均为4，那么该三棱锥的体积是________．
解析：如图，在三棱锥S ­ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，那么AO＝×4×＝.在Rt△SAO中，SO＝＝，所以V＝×××42＝.
答案：
6．在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，其主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M，N，P分别是棱AB，BC，B1C1的中点，那么三棱锥P­A1MN的体积是________．
解析：由三视图易知几何体ABC­A1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，
那么VP­A1MN＝VA1­PMN＝VA­PMN.
又S△PMN＝MN·NP＝××1＝，
A到平面PMN的距离h＝，
∴VA­PMN＝S△PMN·h＝××＝.
答案：
7．如图，三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．
解：设棱台的高为h，S△ABC＝S，那么S△A1B1C1＝4S.
∴VA1­ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴VB ­A1B1C＝V台－VA1­ABC－VC ­A1B1C1＝Sh－－＝Sh，
∴所求体积比为1∶2∶4.
探究应用题
8．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱．
(1)求圆锥的侧面积．
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．
解：(1)圆锥的母线长为＝2(cm)，
∴圆锥的侧面积S1＝π×2×2＝4π(cm2)．
(2)画出圆锥的轴截面如下图：
设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知＝，
∴r＝，
∴圆柱的侧面积S2＝2πrx＝(－x2＋6x)＝－[(x－3)2－9]，
∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm2.
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