2022-2022学年高中数学课时分层作业19基本不等式与最大小值北师大版必修5.doc

课时分层作业(十九)　基本不等式与最大(小)值
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是(　　)
A．3　　　　　　 　　 B．3－2
C．3－2 D．－1
C　[y＝3－3x－＝3－≤3－2 ＝3－2，
当且仅当3x＝，即x＝时取等号．]
2．函数y＝log2(x>1)的最小值为(　　)
A．－3　　 B．3　　　　
C．4　　 D．－4
B　[因为x＋＋5
＝(x－1)＋＋6
≥2 ＋6＝8．
所以log2≥3，所以ymin＝3．
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．]
3．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16 B．25
C．9 D．36
B　[(1＋x)(1＋y)≤
＝＝＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B．]
4．已有x>1，y>1且xy＝16，则log2x·log2y(　　)
A．有最大值2 B．等于4
C．有最小值3 D．有最大值4
D　[因为x>1，y>1，
所以log2x>0，log2y>0．
所以log2x·log2y≤
＝＝4，
当且仅当x＝y＝4时取等号．
故选D．]
5．若正数x，y满足x＋y＋15＝＋，则x＋y的最小值是(　　)
A．1 B．
C． D．2
A　[由已知得，(x＋y)2＋15(x＋y)＝＋(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，解得x＋y≥1或x＋y≤－16(舍去)，故x＋y的最小值为1．]
二、填空题
6．函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为 ．
2　[①当x∈(0,2)时，x,4－2x＞0，f(x)＝x(4－2x)≤＝2，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，等号成立．
②当x≤0或x≥2时，f(x)≤0，故f(x)max＝2．]
7．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为 ．
　[设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为．]
8．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为 ．
8　[因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，所以＋＝1，因为a>0，b>0，所以2a＋b＝(2a＋b)·＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，所以2a＋b的最小值为8．]
三、解答题
9．已知x，y＞0，且x＋2y＋xy＝30，求xy的范围．
[解]　因为x，y是正实数，故30＝x＋2y＋xy≥2＋xy，当且仅当x＝2y，
即x＝6，y＝3时，等号成立．
所以xy＋2－30≤0．
令＝t，则t＞0，得t2＋2t－30≤0，解得－5≤t≤3．
又t＞0，知0＜≤3，
即xy的范围是(0,18]．
10．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值．
[解]　由题意得＋＝＋＝＋－2＝＋(x＋y)－2＝8＋＋≥8＋2＝16．
当且仅当即x＝，y＝时，等号成立．
所以，＋的最小值为16．
1．已知a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x，y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是(　　)
A． B．－
C．1 D．－1
A　[∵a⊥b则a·b＝0，
∴4(x－1)＋2y＝0，
∴2x＋y＝2，
∴xy＝(2x)·y≤·＝，当且仅当2x＝y时，等号成立．]
2．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为(　　)
A． B．
C．2 D．4
D　[圆方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a－2b＋2＝0，
∴a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．]
3．设x>－1，则函数y＝的最小值是 ．
9　[∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝
＝t＋＋5
≥2 ＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取“＝”，此时x＝1．
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9．]
4．等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为 ．
　[设这两个正方形的边长分别为a，b，则a＋b＝1，S＝a2＋b2≥2＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．]
5．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
[解]　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得，
f(x)＝Q(x)＋
＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N＋)，
f(x)＝50x＋＋3 000
≥2 ＋3 000＝5 000(元)．
当且仅当50x＝，即x＝20时，上式取“＝”．因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5 000(元)．
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．
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