2022-2022学年高中数学人教A版必修2作业：章末质量检测第二章-点、直线、平面之间的位置关系-Word版含解析.doc

章末质量检测(二)　点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线l与平面α不平行，则(　　)
A．l与α相交　　　　B．l⊂α
C．l与α相交或l⊂α D．以上结论都不对
解析：直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l⊂α.
答案：C
2．若直线a、b异面，直线b、c异面，则直线a、c的位置关系是(　　)
A．异面直线
B．相交直线
C．平行直线
D．以上都有可能

解析：如图，当c为AD、A1B1、A1D1的位置时，均满足b，c异面，则c与a的位置关系分别为相交、平行、异面．故选D.
答案：D
3．若直线a与平面α不垂直，则平面α内与直线a垂直的直线有(　　)
A．0条 B．1条
C．无数条 D．不确定
解析：若直线a与平面α不垂直，则当直线a∥平面α时，平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当直线a⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直．所以，若直线a与平面α不垂直，则在平面α内与直线a垂直的直线有无数条．
答案：C
4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
解析：当直线a⊂平面β，且点B在直线a上时，在平面β内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线．故选A.
答案：A
5．若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为(　　)
A．16和12 B．15和13
C．17和11 D．18和10

解析：如图，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为M、N，设AB＝x，则CD＝28－x，BM＝9，ND＝5，
∴x2－81＝(28－x)2－25，
∴x＝15,28－x＝13.
答案：B
6．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于(　　)
A．AC B．BD
C．A′D′ D．AA′
解析：连接B′D′(图略)，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，
且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.
而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.
又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.
答案：B
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于E，F，G，H，则四边形EFGH的形状为(　　)

A．平行四边形　B．菱形
C．矩形 D．梯形
解析：因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面EFGH交平面ABCD于GH，交平面A1B1C1D1于EF，则有GH∥EF，同理EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形．
答案：A
8．对于直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：
①若m∥α，n⊥m，则n⊥α；②若m⊥α，n⊥m，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④若m⊥α，m⊂β，则α⊥β.
其中正确命题的个数是(　　)
A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4
解析：①中n与α位置关系不确定；②中n可能在α内；③中α与γ位置关系不确定；由面面垂直的判定定理可知④正确．故选A.
答案：A

9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°

解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)．由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°，故选C.
答案：C

10．[2019·贵阳市监测考试]如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是(　　)
A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.
答案：B
11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝.

∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM，
∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．
∵AC＝1，MC＝AM＝，∴∠CMA＝90°.
答案：C
12．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，则点P到对角线BD的距离为(　　)
A. B.
C. D.
解析：

如图，过点A作AE⊥BD于E，连接PE.
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥PE.
∵AE＝＝，PA＝1，
∴PE＝＝.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点．故EF＝AC＝.
答案：

14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．
解析：因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD.
又因为D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以D1D⊥AC.
因为D1D∩DB＝D，
所以AC⊥平面BB1D1D.
因为AC⊂平面ACD1，
所以平面ACD1⊥平面BB1D1D.
答案：垂直
15．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________(填序号)．

①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置，都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.
解析：分别取CE，DE的中点Q，P，连接MP，PQ，NQ，可证MNQP是矩形，所以①②正确；因为MN∥PQ，AB∥CE，若MN∥AB，则PQ∥CE，又PQ与CE相交，所以③错误；当平面ADE⊥平面ABCD时，有EC⊥AD，④正确．故填①②④.
答案：①②④
16．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________．
解析：tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°.
答案：30°
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)

如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG：GC＝DH：HC＝1：2.求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上．
证明：(1)∵BG：GC＝DH：HC，
∴GH∥BD.
又∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF∥GH，
∴E，F，G，H四点共面．
(2)∵G，H不是BC，CD的中点，
∴EF∥GH，且EF≠GH，
∴EG与FH必相交．
设交点为M，而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，
∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD，
∴M∈AC，
即GE与HF的交点在直线AC上．

18．(12分)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求四面体N－BCM的体积．
解析：(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，
由N为PC中点知TN∥BC，
TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，
所以四边形AMNT为平行四边形，
于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，
所以N到平面ABCD的距离为PA.

如图，取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.
由AM∥BC得M到BC的距离为，
故S△BCM＝×4×＝2.
所以四面体N－BCM的体积VN－BCM＝×S△BCM×＝.
19．(12分)S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，
在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，
∴DE∥BC，∴DE⊥AB，
∵SA＝SB，
∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.
又SE∩DE＝E，
∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.
在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.
(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，
由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，
又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.

20．(12分)如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
(1)求证：BE∥平面MDF；
(2)求证：平面BDE∥平面MNG.

证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.

21．(12分)[2019·菏泽检测]如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．
(1)求证：OE∥平面BCC1B1；
(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.

证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.
(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.

22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.
(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；
(2)求二面角E－DB－C的正切值．
解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.
同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，
又DE⊂平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，
所以DE⊥平面EBC.
因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.

(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝，又OE＝1，所以tan∠EFO＝.