2018年八年级数学上册暑期同步提高课程第四讲全等三角形的性质及判定一讲义新人教版.doc

第四讲 全等三角形的性质及判定（一）

教学目标：

1.了解全等三角形的概念

2.掌握两个三角形全等的条件和全等三角形的性质

3.会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题

重点难点：

1.学习综合证明的格式。

2.提高利用全等三角形的性质与判定分析、解决问题的能力。

知识导航：

1．全等三角形的概念及性质

（1）全等形的概念：两个能够完全重合的图形叫做全等形。

（2）全等形的性质：全等图形的形状和大小都相同。

（3）全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。如果 DABC 能与 DA‘B' C‘ 全等，记作

DABC ≌ DA‘B' C‘。

（4）全等三角形的对应元素：两个三角形全等，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互

相重合的角叫做对应角。

（5）表示方法：符号“≌”读作“全等于”，如△ABC 和△DEF 全等，记 A D

作△ABC≌△DEF，如图，点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应

顶点，AB 和 DE、BC 和 EF，AC 和 DF 是对应边，∠A 和∠D、∠B 和∠E、
B E C F
∠C 和∠F 是对应角。

（6）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

2.三角形全等的判定

（1）边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。

①书写格式：在列举两个三角形全等的条件时，把三个条件按顺序排列，并用大括号将它们括起来，如：

ì AB = A' B'
í
在 DABC 和 DA‘B' C‘中， ï AC = A' C ' ，∴ DABC ≌ DA‘B' C‘ （SSS）
î
ïBC = B' C '

（2）边角边公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。

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（3）角边角公理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ASA”。

（4）角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“AAS”。

（5）直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边” 或“HL”。

考点/易错点 1

用“SAS”判断两个三角形全等的条件是两条边以及这两条边的夹角对应相等，应特别注意其中的夹角是 两一直边的夹角而不是其中一边的对角。用“ASA”定理来判断两个三角形全等，一定要证明这两个三角形 有两个角以及这两个角的夹边对应相等；用“AAS”定理来判断两个三角形全等，注意边是其中一角的对边。
例举两个三角形全等的条件时，列出全等的三个条件一定要按角边顺序的对应。

考点/易错点 2

判断两个三角形全等常用的方法如下表：

已知条件
可判定方法
寻找条件
两边对应相等(SS)
SSS．或 SA．S
第三边或两边的夹角对应相等

一边及其邻角对应相等(SA)

SAS．、ASA．
已知角的另一边对应相等或已

知边的另一邻角对应相等
一边及其对角对应相等(SA)
AA．S
另一个角对应相等

两角对应相等(AA)

AS．A、AAS．
两角的夹边或其中一角的对边

对应相等

考点/易错点 3

应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两 个三角形前加上“Rt”。一般三角形全等的条件对直角三角形同样适用，但“HL”定理只适用于直角三角形 全等的判定，对于一般三角形不适用。

考点/易错点 4

两个三角形不一定全等的情况：

①在两个三角形中三对边和三对内角对应相等这六个元素中满足其中一个或两个对应相等，那么这两个 三角形不一定全等。
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

③有三个内角分别对应相等的两个三角形不一定全等。

典型例题：

【例 1】图中是大小相等的两个矩形，请你判断出哪一个阴影部分的面积较大（ ）

A．甲图的阴影面积大 B．乙图的阴影面积大

C．甲、乙图的阴影面积相等 D．以上都不对

【答案】C．

【解析】左右两边图形中，每个小阴影的面积都等于相邻的空白的面积，所以阴影的面积等于矩形面积的一 半；而两个图形的大小相等，则甲、乙图阴影面积相等．

【例 2】如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，在下列结论中，不正 确的是（ ）

A． ∠EAB=∠FAC B． BC=EF

C． ∠BAC=∠CAF D． ∠AFE=∠ACB

【答案】C．∵△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，∴BC=EF，∠AFE=∠ACB，∠EAB=∠FAC，∠BAC=∠

CAF 不是对应角，因此不相等．

【解析】确认两条线段或两个角相等，往往利用全等三角形的性质求解．

【例 3】尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半 径画弧交 OA，OB 于 C，D，再分别以点 C，D 为圆心，以大于CD 长为
半径画弧，两弧交于点 P，作射线 OP 由作法得△OCP≌△ODP 的根据是
（ ）

A． SAS B． ASA C． AAS D． SSS

【答案】D．以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA，OB 于 C，D，即 OC=OD；以点 C，D 为圆心，以大于
CD 长为半径画弧，两弧交于点 P，即 CP=DP；OP 公共．故得△OCP≌△ODP 的根据是 SSS．

【解析】考查了三边对应相等的两个三角形全等（SSS）这一判定定理．

【例 4】如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB，点 D 是 AC 的中点．将一块锐角为 45°的直角三角板 如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与 A、D 重合，连接 BE、EC．

试猜想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．

【答案】数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC．证明：∵△AED 是直角三角形，∠AED=90°，且有一 个锐角是 45°，∴∠EAD=∠EDA=45°，∴AE=DE，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC﹣∠EDA=180°﹣45°=135°，∴∠EAB=∠EDC，∵D 是 AC 的中点，
∴AD=CD= AC，∵AC=2AB，∴AB=AD=DC，∵在△EAB 和△EDC 中，，∴△EAB≌△EDC
（SAS），∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，∴BE⊥EC．

【解析】证明线段相等的问题一般的解决方法是转化为证明三角形全等．

【例 5】如图所示，将一长方形纸片 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，点 D

落在点 E 处，折痕为 MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明．

【答案】∵四边形 ABCD 是长方形，∴AB=DC，∠B=∠C=∠DAB=90°

∵四边形 NCDM 翻折得到四边形 NAEM，

∴AE=CD，∠E=∠D=90°，∠EAN=∠C=90°．

∴AB=AE，∠B=∠E，∠DAB=∠EAN，即：∠BAN+∠NAM=∠EAM+∠NAM，
∴∠BAN=∠EAM．在△ABN 与△AEM 中，，∴△ABN≌△AEM（ASA）．

【解析】判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等，角须是两边夹角．

【例 6】在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE 于点 E．AD⊥CE 于点 D．求证：△BEC≌△CDA．

【答案】证明：∵BE⊥CE 于 E，AD⊥CE 于 D，∴∠BEC=∠CDA=90°，
在 Rt△BEC 中，∠BCE+∠CBE=90°，在 Rt△BCA 中，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，

ìÐBEC = ÐCDA
í
î
在△BEC 和△CDA 中， ïÐCBE = ÐACD ，∴△BEC≌△CDA．
ïBC = AC

【解析】本题根据 AAS 证明两三角形全等，难度适中．

【例 8】如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块 完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）

A． 带①去 B． 带②去 C． 带③去 D． 带①和②去

【答案】C．第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；第二块，仅保留了原三 角形的一部分边，该块不行；第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合 ASA 判定， 应该拿这块去．

【解析】主要考查对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．

课堂检测：

1.如图，方格纸中有四个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3 为（ ）

A． 90° B． 120°

C． 135° D． 150°

2.下列各组图形中，是全等形的是（ ）

A．一个钝角相等的两个等腰三角形 B．两个含 60°的直角三角形

C．边长为 3 和 5 的两个等腰三角形 D．腰对应相等的两个直角三角形
3.如图，△ABC≌△DCB，若∠A=80°，∠ACB=40°，则∠BCD 等于（ ）
A．80° B．60°

C．40° D．20°
4.如图，若△ABC≌△AEF，则对于结论：（1）AC=AF；（2）∠FAB=
∠EAB；（3）EF=BC；（4）∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（ ）

A． 1 个 B． 2 个

C． 3 个 D． 4 个
5.如图，在△ ABC 和△ DEC 中，已知 AB=DE，还需添加两个条件才能使
△ ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A． BC=EC，∠B=∠E

B． BC=EC，AC=DC C． BC=DC，∠A=∠D D． ∠B=∠E，∠A=∠D 课后作业：
1.边长相等的 6 个正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3 等于（ ）

A． 60° B． 90°

C． 100° D． 135°
2.在△ABC 中，D、E 分别是 AC、BC 上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，
则∠BAC 的度数是（ ）

A． 90° B． 100°

C． 105° D． 120°

3. Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，∠A=20°，△ ABC≌△A′B′C′，若 A′B′恰好经过点 B，A′C′交 AB 于 D，则∠BDC
的度数为（ ）

A． 50° B． 60°

C． 62° D． 64°

4.AB⊥BC 于 B，BE⊥AC 于 E，∠1=∠2，D 为 AC 上一点，AD=AB，则（ ）

A． ∠1=∠EFD B． FD∥BC C． BF=DF=CD D． BE=EC
5.△ABC 中，已知：AB=AC，BD=DE=EF=FC，则图中全等三角形有（ ）
A． 1 对 B． 2 对

C． 3 对 D． 4 对
6.在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 AD⊥MN 于 D，
BE⊥MN 于 E．求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD﹣BE．
7.如图，D 是△ ABC 的 BC 边上一点且 CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE 是△ ABD
的中线．求证：∠C=∠BAE．

8. 凸五边形中，∠B=∠E，∠C=∠D，BC=DE，M 为 CD 中点．求证：AM⊥CD．

A

B E

C M D