初中数学平行四边形及特殊平行四边形有关定理的证明概要.pptx

初中数学初中数学1 1、平行四边形、平行四边形有两组对边分别平行的四边形叫做平行四有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形边形。平行四边形ABCDABCD，记作：，记作：其中其中ABAB与与DCDC、ADAD与与BCBC是两组对边；是两组对边；ABAB与与BCBC是邻边；是邻边；A A与与C C、B B与与D D是两组对角；是两组对角；A A与与B B是邻角。边、是邻角。边、角、对角线是平行四角、对角线是平行四边形的基本元素。边形的基本元素。（1 1 1 1）从边的关系去判定）从边的关系去判定）从边的关系去判定）从边的关系去判定 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（2 2 2 2）从角的关系去判定）从角的关系去判定）从角的关系去判定）从角的关系去判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边两组对角分别相等的四边形是平行四边两组对角分别相等的四边形是平行四边两组对角分别相等的四边形是平行四边 （注：邻角都互补的四边形是平行四边形。）（注：邻角都互补的四边形是平行四边形。）（注：邻角都互补的四边形是平行四边形。）（注：邻角都互补的四边形是平行四边形。）（3 3 3 3）从对角线的关系去判定：）从对角线的关系去判定：）从对角线的关系去判定：）从对角线的关系去判定：对角线相互平分的四边形是平行四边形。对角线相互平分的四边形是平行四边形。对角线相互平分的四边形是平行四边形。对角线相互平分的四边形是平行四边形。（1 1 1 1）从边的关系分析）从边的关系分析）从边的关系分析）从边的关系分析 平行四边形对边平行且相等。平行四边形对边平行且相等。平行四边形对边平行且相等。平行四边形对边平行且相等。（2 2 2 2）从角的关系分析）从角的关系分析）从角的关系分析）从角的关系分析 平行四边形对角相等、邻角互补。平行四边形对角相等、邻角互补。平行四边形对角相等、邻角互补。平行四边形对角相等、邻角互补。（3 3 3 3）从对角线分析）从对角线分析）从对角线分析）从对角线分析 平行四边形对角线互相平分。平行四边形对角线互相平分。平行四边形对角线互相平分。平行四边形对角线互相平分。（4 4 4 4）从对称性分析）从对称性分析）从对称性分析）从对称性分析 平行四边形是中心对称图形，对角线交点平行四边形是中心对称图形，对角线交点平行四边形是中心对称图形，对角线交点平行四边形是中心对称图形，对角线交点是对称中心。是对称中心。是对称中心。是对称中心。（注：由中心对称性，可通过绕三角形一边中点（注：由中心对称性，可通过绕三角形一边中点（注：由中心对称性，可通过绕三角形一边中点（注：由中心对称性，可通过绕三角形一边中点旋转旋转旋转旋转180180180180来构造平行四边形。）来构造平行四边形。）来构造平行四边形。）来构造平行四边形。）2 2、矩形：有一个角是、矩形：有一个角是9090的平行四边形叫矩形。的平行四边形叫矩形。矩形的判定定理：矩形的判定定理：矩形的判定定理：矩形的判定定理：（1 1 1 1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。）有一个角是直角的平行四边形是矩形。）有一个角是直角的平行四边形是矩形。）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2 2 2 2）有三个角是直角的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形。（3 3 3 3）对角线相等的平行四边形是矩形。）对角线相等的平行四边形是矩形。）对角线相等的平行四边形是矩形。）对角线相等的平行四边形是矩形。（4 4 4 4）对角线相等且相互平分的四边形是矩形。）对角线相等且相互平分的四边形是矩形。）对角线相等且相互平分的四边形是矩形。）对角线相等且相互平分的四边形是矩形。矩形的性质定理：矩形的性质定理：矩形的性质定理：矩形的性质定理：（1 1 1 1）矩形的四个角都是直角。）矩形的四个角都是直角。）矩形的四个角都是直角。）矩形的四个角都是直角。（2 2 2 2）矩形的对角线相等且相互平分。）矩形的对角线相等且相互平分。）矩形的对角线相等且相互平分。）矩形的对角线相等且相互平分。（3 3 3 3）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。3 3、菱形：四条边都相等的四边形叫菱形。、菱形：四条边都相等的四边形叫菱形。菱形的判定定理：菱形的判定定理：菱形的判定定理：菱形的判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。有一组邻边相等的平行四边形是菱形。有一组邻边相等的平行四边形是菱形。有一组邻边相等的平行四边形是菱形。有一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。菱形的性质定理：菱形的性质定理：菱形四条边都相等。菱形四条边都相等。菱形对角线互相垂直且平分，并且每条对角线菱形对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。平分一组对角。菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。菱形面积等于它的两条对角线的乘积的一半。菱形面积等于它的两条对角线的乘积的一半。4 4、正方形：四个角都是直角，四条边都相等的、正方形：四个角都是直角，四条边都相等的 四边形。四边形。正方形的判定定理：正方形的判定定理：正方形的判定定理：正方形的判定定理：（1 1）有一组邻边相等的矩形是正方形。）有一组邻边相等的矩形是正方形。（2 2）对角线相互垂直的矩形是正方形。）对角线相互垂直的矩形是正方形。（3 3）有一个角是直角的菱形是正方形。）有一个角是直角的菱形是正方形。（4 4）对角线相等的菱形是正方形。）对角线相等的菱形是正方形。（5 5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是）对角线互相垂直平分且相等的四边形是 正方形。正方形。注：注：注：注：证明四边形是正方形往往先证明它是矩形证明四边形是正方形往往先证明它是矩形证明四边形是正方形往往先证明它是矩形证明四边形是正方形往往先证明它是矩形或菱形，然后再证明其是正方形，有时也从对角或菱形，然后再证明其是正方形，有时也从对角或菱形，然后再证明其是正方形，有时也从对角或菱形，然后再证明其是正方形，有时也从对角线关系出发直接证其是正方形。线关系出发直接证其是正方形。线关系出发直接证其是正方形。线关系出发直接证其是正方形。正方形的性质：正方形的性质：（1 1）正方形的四个角都是直角，四条边）正方形的四个角都是直角，四条边 都相等。都相等。（2 2）正方形的两对角线互相垂直平分且）正方形的两对角线互相垂直平分且 相等，并且每条对角线平分一组对角。相等，并且每条对角线平分一组对角。（3 3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称）正方形既是中心对称图形，又是轴对称 图形。图形。（4 4）正方形的边长与对角线长的比为）正方形的边长与对角线长的比为 。性质特性质特性质特性质特征征征征边边角角对角线对角线对称性对称性对称性对称性平行四平行四平行四平行四边形边形边形边形对边平行对边平行对边平行对边平行且相等且相等且相等且相等对角相等对角相等对角相等对角相等两条对角线互两条对角线互两条对角线互两条对角线互相平分相平分相平分相平分轴对称轴对称轴对称轴对称矩形矩形矩形矩形对边平行对边平行对边平行对边平行且相等且相等且相等且相等四个角都四个角都四个角都四个角都是直角是直角是直角是直角两条对角线互两条对角线互两条对角线互两条对角线互相平分且相等相平分且相等相平分且相等相平分且相等轴对称轴对称轴对称轴对称中心对中心对中心对中心对称称称称菱形菱形菱形菱形对边平行对边平行对边平行对边平行四边都相四边都相四边都相四边都相等等等等对角相等对角相等对角相等对角相等两条对角线互相两条对角线互相两条对角线互相两条对角线互相垂直平分，每条垂直平分，每条垂直平分，每条垂直平分，每条对角线平分一组对角线平分一组对角线平分一组对角线平分一组对角对角对角对角轴对称轴对称轴对称轴对称中心对中心对中心对中心对称称称称正方形正方形正方形正方形对边平行对边平行对边平行对边平行四边相等四边相等四边相等四边相等四个角都四个角都四个角都四个角都是直角是直角是直角是直角两条对角线互相两条对角线互相两条对角线互相两条对角线互相垂直平分，每条垂直平分，每条垂直平分，每条垂直平分，每条对角线平分一组对角线平分一组对角线平分一组对角线平分一组对角对角对角对角轴对称轴对称轴对称轴对称中心对中心对中心对中心对称称称称1 1、利用平行四边形定义、性质来判定、利用平行四边形定义、性质来判定 线段线段相等或平行相等或平行；两角；两角相等或互补相等或互补。2 2、利用矩形特殊性质来判定、利用矩形特殊性质来判定9090的角。的角。3 3、利用菱形、正方形特征判定线段、利用菱形、正方形特征判定线段相等相等；线段相互线段相互垂直平分等垂直平分等。4 4、利用性质来进行有关、利用性质来进行有关线段、角和面积线段、角和面积 的计算。的计算。例例1 1：如图所示，平行四边形如图所示，平行四边形ABCDABCD中，点中，点E E、F F 在对角线在对角线ACAC上，且上，且AE=CFAE=CF。求证：四边形求证：四边形BEDFBEDF是平行四边形。是平行四边形。证明：证明：连结连结BDBD，交，交ACAC于点于点O O。在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中 则则 四边形四边形BFDEBFDE为为 平行四边形。平行四边形。方法较多时，尽方法较多时，尽量考虑简单办法。量考虑简单办法。例例例例2:2:2:2:分别以平行四边形分别以平行四边形分别以平行四边形分别以平行四边形ABCDABCDABCDABCD的邻边的邻边的邻边的邻边ABABABAB和和和和ADADADAD为一边，在平行四为一边，在平行四为一边，在平行四为一边，在平行四边形边形边形边形ABCDABCDABCDABCD外作正三角形外作正三角形外作正三角形外作正三角形ABFABFABFABF和正三角形和正三角形和正三角形和正三角形ADEADEADEADE，连结，连结，连结，连结CECECECE、EFEFEFEF、CFCFCFCF得得得得CEFCEFCEFCEF，试判断，试判断，试判断，试判断CEFCEFCEFCEF的形状，并证明你的结论。的形状，并证明你的结论。的形状，并证明你的结论。的形状，并证明你的结论。证明：证明：证明：证明：四边形四边形四边形四边形ABCDABCDABCDABCD是平行四边形是平行四边形是平行四边形是平行四边形ADEADE、ABFABF为正三角形为正三角形 CECECECECFCFCFCF等边等边等边等边例例例例3:3:3:3:如图所示，延长矩形的边如图所示，延长矩形的边如图所示，延长矩形的边如图所示，延长矩形的边CBCBCBCB至至至至E E E E，使，使，使，使CE=CACE=CACE=CACE=CA，F F F F是是是是AEAEAEAE的中点，求证：的中点，求证：的中点，求证：的中点，求证：。证证 明明：连连 接接 CFCF，四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形 F F是是AEAE的中点的中点 在在ADFADF和和BCFBCF中中 例例例例4:4:4:4:如图所示，如图所示，如图所示，如图所示，E E E E、F F F F分别在正方形分别在正方形分别在正方形分别在正方形ABCDABCDABCDABCD的边的边的边的边BCBCBCBC、CDCDCDCD上，且上，且上，且上，且 ，求证：，求证：，求证：，求证：EF=BE+DFEF=BE+DFEF=BE+DFEF=BE+DF。12 证明：证明：将将ADFADF旋转至旋转至ABGABG，则，则 例例例例5:5:5:5:如图所示，将矩形如图所示，将矩形如图所示，将矩形如图所示，将矩形ABCDABCDABCDABCD沿着直线沿着直线沿着直线沿着直线BDBDBDBD折叠，使折叠，使折叠，使折叠，使 点点点点C C C C落在落在落在落在C C C C 处，处，处，处，BCBCBCBC 交交交交ADADADAD于于于于E E E E，AD=8AD=8AD=8AD=8，AB=4AB=4AB=4AB=4，求求求求:BED:BED:BED:BED的面积。的面积。的面积。的面积。解解：在在矩矩形形ABCDABCD中中，AD/BCAD/BC，因：矩形因：矩形因：矩形因：矩形ABCDABCDABCDABCD沿直线沿直线沿直线沿直线BDBDBDBD折叠折叠折叠折叠后，后，后，后，BCBCBCBC D D D D与与与与BCDBCDBCDBCD关于直关于直关于直关于直线线线线BDBDBDBD对称对称对称对称 x xx x1、熟知平行四边形及特殊平行四边形的性、熟知平行四边形及特殊平行四边形的性质及判定；质及判定；2、知道以上性质、判定的作用，并能够在、知道以上性质、判定的作用，并能够在需要时准确选择应用；需要时准确选择应用；3、相关知识（如：勾股定理、旋转、折叠、相关知识（如：勾股定理、旋转、折叠、直角三角形中相关特性等）的应用反映直角三角形中相关特性等）的应用反映及时、准确。及时、准确。多练、多见到熟练，多练、多见到熟练，多练、多见到熟练，多练、多见到熟练，仔细分析不怕难！仔细分析不怕难！仔细分析不怕难！仔细分析不怕难！祝大家学习愉快！