2022高考数学一轮复习课后限时集训38基本不等式理.doc

课后限时集训38
基本不等式
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一、选择题
1．(多选题)下列不等式证明过程正确的是(　　)
A．若a，b∈R，则＋≥2＝2
B．若x＞1，y＞1，则lg x＋lg y≥2
C．若x＜0，则x＋≥2＝－4
D．若x＜0，则2x＋2－x＞2＝2
BD　[A错误，∵a、b不满足同号，故不能用基本不等式；B正确，∵lg x和lg y一定是正实数，故可用基本不等式； C错误，∵x和不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D正确，∵2x和2－x都是正实数，故2x＋2－x＞2＝2成立，当且仅当2x＝2－x相等时(即x＝0时)，等号成立，故选BD.]
2．设0＜x＜2，则函数y＝的最大值为(　　)
A．2　　 B．　　　　
C.　　　　 D.
D　[∵0＜x＜2，∴4－2x＞0，
∴x(4－2x)＝×2x(4－2x)≤×2＝×4＝2.
当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立．
即函数y＝的最大值为.]
3．若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　)
A．3＋2 B．3＋
C．2＋2 D．3
A　[因为2m＋n＝1，
所以＋＝·(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，
即n＝m时等号成立，所以＋的最小值为3＋2，故选A.]
4．(2019·长沙模拟)若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
B　[法一：(直接法)由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
法二：(常数代换法)由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.]
5.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
D　[由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，
则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，
再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D.]
二、填空题
6．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
　[∵对任意x＞0，≤a恒成立，
∴对x∈(0，＋∞)，a≥max，
而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，
当且仅当x＝时等号成立，
∴a≥.]
7．如图，已知正方形OABC，其中OA＝a(a＞1)，函数y＝3x2交BC于点P，函数y＝x交AB于点Q，当|AQ|＋|CP|最小时，则a的值为________．

　[由题意得：P点坐标为，Q点坐标为，|AQ|＋|CP|＝＋≥2，
当且仅当a＝时，取最小值．]
8．(2019·天津高考)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为________．
　[＝＝＝2＋.
因为x＞0，y＞0，x＋2y＝4，
所以x＋2y＝4≥2，
即≤2,0＜xy≤2，当且仅当x＝2y＝2时等号成立．
所以2＋≥2＋5×＝，
所以的最小值为.]
三、解答题
9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
[解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，
当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．
故xy的最小值为64.
(2)法一：(消元法)由2x＋8y－xy＝0，得x＝，
因为x＞0，y＞0，所以y＞2，
则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，
当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．
故x＋y的最小值为18.
法二：(常数代换法)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋
≥10＋2 ＝18，
当且仅当y＝6，x＝12时等号成立，
故x＋y的最小值为18.
10．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
[解]　(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，k＝2，∴x＝3－，
每万件产品的销售价格为1.5×(万元)，
∴2020年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋8－m＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
∴y≤－8＋29＝21，
当且仅当＝m＋1，即m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．

1．已知函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图像在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则的最小值是(　　)
A．10 B．9
C．8 D．3
B　[由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，
由函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线斜率为2，
所以f′(1)＝2a＋b＝2，
所以＝＋＝(2a＋b)
＝≥＝(10＋8)＝9，
当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，
所以的最小值为9，故选B.]
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC面积的最大值为(　　)
A．4 B．2
C．3 D.
A　[∵＝，
∴(2a－c)cos B＝bcos C，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C
＝sin(B＋C)＝sin A.
又sin A≠0，∴cos B＝.
∵0<B<π，∴B＝.
由余弦定理得b2＝16＝a2＋c2－2accos
＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
∴ac≤16，
当且仅当a＝c时等号成立．
∴S△ABC＝acsin ≤×16×＝4.
故△ABC面积的最大值为4.故选A.]
3．(2019·天津市河北区二模)已知首项与公比相等的等比数列{an}中，若m，n∈N＋，满足ama＝a，则＋的最小值为________．
1　[设等比数列{an}公比为q，则首项a1＝q，
由ama＝a，得a1qm－1·(a1qn－1)2＝(a1q3)2，
则qm＋2n＝q8，∴m＋2n＝8，
∴＋＝(m＋2n)＝＝，
∵m，n∈N＋，∴＞0，＞0.
则＋≥2＝4，(当且仅当＝，即2n＝m时取等号)
∴min＝×(4＋4)＝1.]
4．某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.

(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？
[解]　(1)由题意可得xy＝1 800，b＝2a，
则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a
＝(3x－8)＝1 808－3x－y(x>3，y>3)．
(2)S＝1 808－3x－×
＝1 808－≤1 808－2
＝1 808－240＝1 568，
当且仅当3x＝，即x＝40时等号成立，S取得最大值，此时y＝＝45，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．

1．在△ABC中，点P满足＝2，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若＝m，＝n(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为(　　)
A．3 B．4
C. D.
A　[∵＝＋
＝＋(－)
＝＋＝＋，
∵M，P，N 三点共线，∴＋＝1，
∴m＋2n＝(m＋2n)
＝＋＋＋≥＋2＝＋＝3，
当且仅当m＝n＝1时等号成立．]
2．(2019·定州期中)已知函数f(x)＝log2(－x)，若对任意的正数a，b，满足f(a)＋f(3b－1)＝0，则＋的最小值为(　　)
A．6 B．8
C．12 D．24
C　[易知函数f(x)＝log2(－x)的定义域为R，
又f(x)＝log2(－x)＝log2，
所以f(x)为R上的减函数．
又f(－x)＝log2(＋x)，所以f(x)＝－f(－x)，
即f(x)为奇函数，
因为f(a)＋f(3b－1)＝0，所以f(a)＝f(1－3b)，
所以a＝1－3b，即a＋3b＝1，
所以＋＝(a＋3b)＝＋＋6，
因为＋≥2＝6，
所以＋＝(a＋3b)＝＋＋6≥12(当且仅当a＝，b＝时，等号成立)，故选C.]