2022年高考数学一轮复习考点12函数模型及其应用必刷题理含解析.doc

考点12 函数模型及其应用
1、某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)
A. B．
C. D．－1
【答案】D
【解析】设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p＋1)(q＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(p＋1)(q＋1)，解得x＝－1，故选D.
2、在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)
A. B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵[H＋]·[OH－]＝10－14，∴＝[H＋]2×1014，∵7.35<－lg [H＋]<7.45，
∴10－7.45<[H＋]<10－7.35，∴10－0.9<＝1014·[H＋]2<10－0.7，10－0.9＝>，lg(100.7)＝0.7>lg 3>lg 2，∴100.7>3>2，10－0.7<<，∴<<.故选C.
3、一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是(　　)
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.
4、某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．28小时
【答案】C
【解析】由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln 192.
又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，
∴e11k＝＝＝.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192 e33k＝192(e11k)3＝192×＝24(小时)．
5、某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝，Q＝ (a>0)．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为(　　)
A. B．5
C． D．2
【答案】A
【解析】设投入x万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x)万元，总利润y＝P＋Q＝＋·.令y≥5，则＋·≥5对0≤x≤20恒成立．∴a≥10－，∴a≥对0≤x<20恒成立．∵f(x)＝的最大值为，且x＝20时，a≥10－也成立，∴amin＝.故选A.
6、某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：
月份
用气量
煤气费
一月份
4 m3
4元
二月份
25 m3
14元
三月份
35 m3
19元
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为(　　)
A．11.5元 B．11元
C．10.5元 D．10元
【答案】A
【解析】根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5.
7、某校甲、乙两食堂某年1月营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份(　　)
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
【答案】A
【解析】设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以y1＞y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．
8、加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据
根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
【答案】3.75
【解析】由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，分别代入解析式，得解得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.812 5，所以当t＝3.75时，可食用率p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．
9、某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．
【答案】190 元
【解析】设售价提高x元，则依题意y＝(1 000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20 000＝－5(x－90)2＋60 500.
故当x＝90时，ymax＝60 500，此时售价为每件190元．
10、现有含盐7%的食盐水200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是________．
【答案】(100,400)
【解析】设y＝，令5%＜y＜6%，即(200＋x)5%＜200×7%＋x·4%＜(200＋x)6%，解得100＜x＜400.
11、某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
【答案】9
【解析】由已知可得
y＝
＝由y＝22.6解得x＝9.
12、某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)．
【答案】8
【解析】设过滤n次才能达到市场要求，则2%n≤0.1%，即n≤，所以nlg≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.
13、某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．
【答案】10
【解析】由题设可得(1－0.1)P0＝P0e－5k，即0.9＝e－5k，故－5k＝ln 0.9；又(1－0.19)P0＝P0e－kt，即0.81＝e－kt，故－kt＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k，故t＝10，应填10.
14、渔场中鱼群的最大养殖量为m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)，则鱼群年增长量的最大值是________．
【答案】
【解析】由题意，空闲率为1－，
∴y＝kx，定义域为(0，m)，
y＝kx＝－2＋，
∵x∈(0，m)，k＞0，∴当x＝时，ymax＝.
15、拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．
【答案】4.24
【解析】∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
16、某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．
【答案】
【解析】 前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.
17、候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
【答案】(1) (2) 270
【解析】(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，则a＋blog3＝0，即a＋b＝0；
当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，则a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.
所以要使飞行速度不低于2 m/s，则v≥2，
所以－1＋log3≥2，即log3≥3，解得≥27，
即Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位．
18、某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线

(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．
【答案】(1) y＝ (2)
【解析】(1)由题图，设y＝
当t＝1时，由y＝4得k＝4，
由＝4得a＝3.所以y＝
(2)由y≥0.25得或
解得≤t≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－＝(小时)．
19、已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg (nA)来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：
①PA≥1；
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5＜PA＜5.5.
其中正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)
【答案】③
【解析】当nA＝1时PA＝0，故①错误；
若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；
设B菌的个数为nB＝5×104，
∴nA＝＝2×105，
∴PA＝lg(nA)＝lg 2＋5.
又∵lg 2≈0.3，
∴5＜PA＜5.5，故③正确．
20、某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，那么，大约使用________年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
【答案】4
【解析】设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，
依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.
化简得：x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x.
因为f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，
所以函数f(x)在(3，4)上应有一个零点．
故大约使用4年后，花费在该车上的费用达到14.4万元．
21、某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?
(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.
①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；
②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．
【答案】(1) f(x)＝x(x－q)2＋p (2) f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5) 9月、10月两个月
【解析】(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.
(2)①对于f(x)＝x(x－q)2＋p，
由f(0)＝4，f(2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，
又q＞1，所以q＝3，
所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．
②因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，
所以f′(x)＝3x2－12x＋9，
令f′(x)＜0，得1＜x＜3.
所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．
22、我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的AMPN矩形健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10,20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为元(k为正常数)．
(1)试用x表示S，并求S的取值范围；
(2)求总造价T关于面积S的函数T＝f(S)；
(3)如何选取|AM|，使总造价T最低(不要求求出最低造价)?

【答案】选取|AM|为12米或18米时总造价T最低．
【解析】(1)在Rt△PMC中，显然|MC|＝30－x，∠PCM＝60°，|PM|＝|MC|·tan∠PCM＝(30－x)，
∴矩形AMPN的面积S＝|PM|·|AM|＝
x(30－x)，x∈[10,20]，
∴200≤S≤225.
(2)矩形AMPN健身场地造价T1＝37k，
又∵△ABC的面积为450，∴草坪造价T2＝(450－S)．
∴总造价T＝T1＋T2＝25k，
200≤S≤225.
(3)∵＋≥12，
当且仅当＝，即S＝216时等号成立，
此时x(30－x)＝216，解得x＝12或x＝18.
23、某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为：
y＝
且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
【答案】(1) 5 000元 (2) 400吨
【解析】(1)当x∈[200,300]时，该项目获利为S，则S＝200x－＝－(x－400)2，
∴当x∈[200,300]时，S<0，因此，该项目不会获利．
当x＝300时，S取得最大值－5 000，
∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损．
(2)由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
＝
当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，
∴当x＝120时，取得最小值240.
当x∈[144,500)时，＝x－200＋≥2－200＝400－200＝200，
当且仅当＝，即x＝400时，取得最小值200.
∵240>200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．