2022年各地中考数学解析版试卷分类汇编多边形与平行四边形.docx

多边形与平行四边形
一、选择题
1．〔2022·黑龙江大庆〕以下说法正确的选项是〔　　〕
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．四边相等的四边形是菱形
【考点】矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定．
【分析】直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案．
【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；
C、两组组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；
D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确．
应选．
【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键．
2．〔2022·湖北十堰〕如下列图，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是〔　　〕
A．140米 B．150米 C．160米 D．240米
【考点】多边形内角与外角．
【分析】多边形的外角和为360°每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．
【解答】解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，
∴多边形的边数为360°÷24°=15，
∴小明一共走了：15×10=150米．
应选B．
【点评】此题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据多边形的外角和及每一个外角都为24°求边数．
3.〔2022·四川广安·3分〕假设一个正n边形的每个内角为144°，那么这个正n边形的所有对角线的条数是〔　　〕
A．7 B．10 C．35 D．70
【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．
【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入中即可得出结论．
【解答】解：∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144n=180×〔n﹣2〕，解得：n=10．
这个正n边形的所有对角线的条数是： ==35．
应选C．
4.〔2022·四川广安·3分〕以下说法：
①三角形的三条高一定都在三角形内
②有一个角是直角的四边形是矩形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形
④两边及一角对应相等的两个三角形全等
⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
其中正确的个数有〔　　〕
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．
【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题．
【解答】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外．
②错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形．
③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
④错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等．
⑤错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形．
正确的只有③，
应选A．
5.〔2022·四川凉山州·4分〕一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为〔　　〕
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【解答】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，那么〔n﹣2〕•180°=1080°，
解得：n=8．
那么原多边形的边数为7或8或9．
应选：D．
6．〔2022·江苏苏州〕如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．假设四边形ABCD的面积为6，那么△BEF的面积为〔　　〕
A．2 B． C． D．3
【考点】三角形的面积．
【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．
【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，
∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC===4，
∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，
∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，
∴AG=BG=2
∵S△ABC=•AB•AC=×2×2=4，
∴S△ADC=2，
∵=2，
∴GH=BG=，
∴BH=，
又∵EF=AC=2，
∴S△BEF=•EF•BH=×2×=，
应选C．
7．〔2022•浙江省舟山〕一个正多边形的内角是140°，那么这个正多边形的边数是〔　　〕
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先根据一个正多边形的内角是140°，求出每个外角的度数是多少；然后根据外角和定理，求出这个正多边形的边数是多少即可．
【解答】解：360°÷
=360°÷40°
=9．
答：这个正多边形的边数是9．
应选：D．
8.〔2022,湖北宜昌，5，3分〕设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，那么a与b的关系是〔　　〕
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．
【解答】解：∵四边形的内角和等于a，
∴a=〔4﹣2〕•180°=360°．
∵五边形的外角和等于b，
∴b=360°，
∴a=b．
应选B．
【点评】此题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．
9.〔2022·广东茂名〕以下说法正确的选项是〔　　〕
A．长方体的截面一定是长方形
B．了解一批日光灯的使用寿命适合采用的调查方式是普查
C．一个圆形和它平移后所得的圆形全等
D．多边形的外角和不一定都等于360°
【考点】多边形内角与外角；截一个几何体；平移的性质；全面调查与抽样调查．
【专题】多边形与平行四边形．
【分析】A、长方体的截面不一定是长方形，错误；
B、调查日光灯的使用寿命适合抽样调查，错误；
C、利用平移的性质判断即可；
D、多边形的外角和是确定的，错误．
【解答】解：A、长方体的截面不一定是长方形，错误；
B、了解一批日光灯的使用寿命适合采用的调查方式是抽样调查，错误；
C、一个圆形和它平移后所得的圆形全等，正确；
D、多边形的外角和为360°，错误，
应选C
【点评】此题考查了多边形内角与外角，截一个几何体，平移的性质，以及全面调查与抽样调查，弄清各自的定义及性质是解此题的关键．
10.(2022年浙江省丽水市)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AD=8，BD=12，AC=6，那么△OBC的周长为〔　　〕
A．13 B．17 C．20 D．26
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，
∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．
应选：B．
11.〔2022年浙江省宁波市〕如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，那么这个平行四边形的面积一定可以表示为〔　　〕
A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3
【考点】平行四边形的性质．
【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2〔用a、c表示〕，得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．
【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
那么S2=〔a+c〕〔a﹣c〕=a2﹣c2，
∴S2=S1﹣S3，
∴S3=2S1﹣2S2，
∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．
应选A．
【点评】此题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．

A．45° B．55° C．65° D．75°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形对角相等，求出∠BCD，再根据邻补角的定义求出∠MCD即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

应选A．
13.〔2022年浙江省温州市〕六边形的内角和是〔　　〕
A．540° B．720° C．900° D．1080°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】多边形内角和定理：n变形的内角和等于〔n﹣2〕×180°〔n≥3，且n为整数〕，据此计算可得．
【解答】解：由内角和公式可得：〔6﹣2〕×180°=720°，
应选：B．
14．〔2022.山东省临沂市，3分〕一个正多边形的内角和为540°，那么这个正多边形的每一个外角等于〔　　〕
A．108° B．90° C．72° D．60°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180〔n﹣2〕=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180〔n﹣2〕=540，
解得：n=5，
故这个正多边形的每一个外角等于 =72°．
应选C．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：〔n﹣2〕•180°，外角和等于360°．
15．〔2022.山东省泰安市，3分〕如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，那么AE+AF的值等于〔　　〕
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB，证出BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，
∴∠F=∠DCF，
∵∠C平分线为CF，
∴∠FCB=∠DCF，
∴∠F=∠FCB，
∴BF=BC=8，
同理：DE=CD=6，
∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，
∴AE+AF=4；
应选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．
二、填空题
1．〔2022·湖北十堰〕如图，在▱ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，AC⊥BC，那么△DBC比△ABC的周长长4　cm．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，根据勾股定理得到OC=3cm，BD=10cm，于是得到结论．
【解答】解：在▱ABCD中，∵AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，
∵AC⊥BC，
∴AC==6cm，
∴OC=3cm，
∴BO==5cm，
∴BD=10cm，
∴△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣〔AB+BC+AC〕=BD﹣AC=10﹣6=4cm，
故答案为：4．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
2.(2022·四川资阳)如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，那么∠ACB=　36°　．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】由正五边形的性质得出∠B=108°，AB=CB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B=108°，AB=CB，
∴∠ACB=÷2=36°；
故答案为：36°．
3.(2022·四川自贡)假设n边形内角和为900°，那么边数n=　7　．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】由n边形的内角和为：180°〔n﹣2〕，即可得方程180〔n﹣2〕=900，解此方程即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：180〔n﹣2〕=900，
解得：n=7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了多边形内角和公式．此题比较简单，注意方程思想的应用是解此题的关键．
4.(2022·云南)假设一个多边形的边数为6，那么这个多边形的内角和为 720度．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和公式求解即可．
【解答】解：根据题意得，180°〔6﹣2〕=720°
故答案为720
【点评】此题是多边形的内角和外角，主要考差了多边形的内角和公式，解此题的关键是熟记多边形的内角和公式．
5.〔2022·广东梅州〕如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，假设，那么________．
答案：4
考点：平行四边形的性质，三角形的面积，三角形的相似的判定与性质。
解析：因为E为AD中点，AD∥BC，所以，△DFE∽△BFC，
所以，，，所以，＝1，
又，所以，4。
6.〔2022·广东深圳〕如图，在□ABCD中，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，那么DE的长为____________.
答案：.2
考点：角平分线的作法，等角对等边，平行四边形的性质。
解析：依题意，可知，BE为角平分线，所以，∠ABE＝∠CBE，
又AD∥BC，所以，∠AEB＝∠CBE，所以，∠AEB＝∠ABE，AE＝AB＝3，
AD＝BC＝5，所以，DE＝5－3＝2。
7.〔2022·广东深圳〕如图，四边形是平行四边形，点C在x轴的负半轴上，将 ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上.假设点D在反比例函数的图像上，那么k的值为_________.
答案：
考点：平行四边形的性质，反比例函数。
解析：如图，作DM⊥轴
由题意∠BAO=∠OAF, AO=AF, AB∥OC
所以∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF
∴∠AOF=60°=∠DOM
∵OD=AD-OA=AB-OA=6-2=4
∴MO=2， MD=
∴D(-2，-)
∴k=-2×〔〕=
8．〔2022·四川巴中〕如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，那么a的取值范围是　1＜a＜7　．
【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．
【分析】由平行四边形的性质得出OA=4，OD=3，再由三角形的三边关系即可得出结果．
【解答】解：如下列图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=AC=4，OD=BD=3，
在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．
即1＜a＜7；
故答案为：1＜a＜7．
9．〔2022·江苏泰州〕五边形的内角和是　540　°．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和是〔n﹣2〕•180°，代入计算即可．
【解答】解：〔5﹣2〕•180°
=540°，
故答案为：540°．
10．〔2022·江苏无锡〕如图，▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，那么对角线OB长的最小值为　5　．
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．
【分析】当B在x轴上时，对角线OB长的最小，由题意得出∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，由平行四边形的性质得出OA∥BC，OA=BC，得出∠AOD=∠CBE，由AAS证明△AOD≌△CBE，得出OD=BE=1，即可得出结果．
【解答】解：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如下列图：直线x=1与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E，
根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∴∠AOD=∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE〔AAS〕，
∴OD=BE=1，
∴OB=OE+BE=5；
故答案为：5．

【考点】多边形内角与外角．
【分析】先求出每一外角的度数是45°，然后用多边形的外角和为360°÷45°进行计算即可得解．

∵多边形的外角和为360°，
∴360°÷45°=8，
即这个多边形是八边形．
故答案为：8．
12．〔2022•辽宁沈阳〕假设一个多边形的内角和是540°，那么这个多边形是　五　边形．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和公式求出边数即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，那么
〔n﹣2〕•180°=540°，
解得n=5，
故答案为：五．
【点评】此题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键．
13．〔2022•呼和浩特〕平行四边形ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB=2，假设点A的坐标为〔a，b〕，那么点D的坐标为　〔﹣2﹣a，﹣b〕〔2﹣a，﹣b〕　．
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．
【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=2，根据条件得到B〔2+a，b〕，或〔a﹣2，b〕，∵由于点D与点B关于原点对称，即可得到结论．
【解答】解：如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，
∵A的坐标为〔a，b〕，AB与x轴平行，
∴B〔2+a，b〕，∵点D与点B关于原点对称，
∴D〔﹣2﹣a，﹣b〕
如图2，∵B〔a﹣2，b〕，∵点D与点B关于原点对称，
∴D〔2﹣a，﹣b〕，
综上所述：D〔﹣2﹣a，﹣b〕，〔2﹣a，﹣b〕．
三、解答题
1.〔2022·湖北鄂州〕〔此题总分值8分〕如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N。
〔1〕〔4分〕求证：四边形CMAN是平行四边形。
〔2〕〔4分〕DE＝4，FN＝3，求BN的长。
【考点】平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
【分析】〔1〕通过AE⊥BD，CF⊥BD证明AE∥CF，再由四边形ABCD是平行四边形得到AB∥CD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形CMAN是平行四边形；
〔2〕先证明两三角形全等得DE=BF=4，再由勾股定理得BN=5．
【解答】⑴证明：∵AE⊥BD CF⊥BD
∴AE∥CF
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴四边形CMAN是平行四边形 〔4分〕
⑵由⑴知四边形CMAN是平行四边形
∴CM=AN.
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD，∠MDE=∠NBF.
∴AB-AN=CD-CM，即DM=BN.
在△MDE和∠NBF中
∠MDE=∠NBF
∠DEM=∠BFN=90°
DM=BN
∴△MDE≌∠NBF
∴DE=BF=4，〔2分〕
由勾股定理得BN===5〔4分〕.
答：BN的长为5.
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定及其性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；灵活运用判定、性质及定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键．
2. 〔2022·湖北黄冈〕〔总分值7分〕如图，在 ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.
求证：AG=CH
A E D
G
H
B F C
〔第17题〕
【考点】平行四边形的判定和性质、三角形全等的判定和性质.
【分析】要证明边相等，考虑运用三角形全等来证明。根据E，F分别是AD，BC的中点，得出AE=DE=AD，CF=BF=BC；运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形〞证明四边形BEDF是平行四边形，从而得到∠BED=∠DFB，再运用等角的补角相等得到∠AEG=∠DFC；最后运用ASA证明△AGE≌△CHF，从而证得AG=CH.
【解答】证明：∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=DE=AD，CF=BF=BC. ………………………………….1分
又∵AD∥BC，且AD=BC.
∴ DE∥BF，且DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴∠BED=∠DFB.
∴∠AEG=∠DFC. ………………………………………………5分
又∵AD∥BC， ∴∠EAG=∠FCH.
在△AGE和△CHF中
∠AEG=∠DFC
AE=CF
∠EAG=∠FCH
∴△AGE≌△CHF.
∴AG=CH
3.〔2022·四川达州·7分〕如图，在▱ABCD中，AD＞AB．
〔1〕实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；〔要求：尺规作图，保存作图痕迹，不写作法〕
〔2〕猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．
【考点】平行四边形的性质；作图—根本作图．
【分析】〔1〕由角平分线的作法容易得出结果，在AD上截取AF=AB，连接EF；画出图形即可；
〔2〕由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由〔1〕得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论．
【解答】解：〔1〕如下列图：
〔2〕四边形ABEF是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB，
由〔1〕得：AF=AB，
∴BE=AF，
又∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形．
4.〔2022·四川达州·11分〕如图，抛物线y=ax2+2x+6〔a≠0〕交x轴与A，B两点〔点A在点B左侧〕，将直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置，边WZ经过抛物线上的点C〔4，m〕，与抛物线的另一交点为点D，直尺被x轴截得的线段EF=2，且△CEF的面积为6．
〔1〕求该抛物线的解析式；
〔2〕探究：在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使得△ACP的面积最大假设存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；假设不存在，请说明理由．
〔3〕将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移，设平移的时间为t秒，平移后的直尺为W′X′Y′Z′，其中边X′Y′所在的直线与x轴交于点M，与抛物线的其中一个交点为点N，请直接写出当t为何值时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
【考点】二次函数综合题；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质．
【分析】〔1〕根据三角形的面积公式求出m的值，结合点C的坐标利用待定系数法即可求出a值，从而得出结论；
〔2〕假设存在．过点P作y轴的平行线，交x轴与点M，交直线AC于点N．根据抛物线的解析式找出点A的坐标．设直线AC的解析式为y=kx+b，点P的坐标为〔n，﹣ n2+2n+6〕〔﹣2＜n＜4〕，由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，代入x=n，即可得出点N的坐标，利用三角形的面积公式即可得出S△ACP关于n的一元二次函数，根据二次函数的性质即可解决最值问题；
〔3〕根据直尺的摆放方式可设出直线CD的解析式为y=﹣x+c，由点C的坐标利用待定系数法即可得出直线CD的解析式，联立直线CD的解析式与抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点D的坐标，令直线CD的解析式中y=0，求出x值即可得出点E的坐标，结合线段EF的长度即可找出点F的坐标，设出点M的坐标，结合平行四边形的性质以及C、D点坐标的坐标即可找出点N的坐标，再由点N在抛物线图象上，将其代入抛物线解析式即可得出关于时间t的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：〔1〕∵S△CEF=EF•yC=×2m=6，
∴m=6，即点C的坐标为〔4，6〕，
将点C〔4，6〕代入抛物线y=ax2+2x+6〔a≠0〕中，
得：6=16a+8+6，解得：a=﹣，
∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+6．
〔2〕假设存在．过点P作y轴的平行线，交x轴与点M，交直线AC于点N，如图1所示．
令抛物线y=﹣x2+2x+6中y=0，那么有﹣x2+2x+6=0，
解得：x1=﹣2，x2=6，
∴点A的坐标为〔﹣2，0〕，点B的坐标为〔6，0〕．
设直线AC的解析式为y=kx+b，点P的坐标为〔n，﹣ n2+2n+6〕〔﹣2＜n＜4〕，
∵直线AC过点A〔﹣2，0〕、C〔4，6〕，
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为y=x+2．
∵点P的坐标为〔n，﹣ n2+2n+6〕，
∴点N的坐标为〔n，n+2〕．
∵S△ACP=PN•〔xC﹣xA〕=×〔﹣n2+2n+6﹣n﹣2〕×[4﹣〔﹣2〕]=﹣〔n﹣1〕2+，
∴当n=1时，S△ACP取最大值，最大值为，
此时点P的坐标为〔1，〕．
∴在直线AC上方的抛物线上存在一点P，使得△ACP的面积最大，面积的最大值为，此时点P的坐标为〔1，〕．
〔3〕∵直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置，
∴设直线CD的解析式为y=﹣x+c，
∵点C〔4，6〕在直线CD上，
∴6=﹣4+c，解得：c=10，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+10．
联立直线CD与抛物线解析式成方程组：，
解得：，或，
∴点D的坐标为〔2，8〕．
令直线CD的解析式y=﹣x+10中y=0，那么0=﹣x+10，
解得：x=10，即点E的坐标为〔10，0〕，
∵EF=2，且点E在点F的左边，
∴点F的坐标为〔12，0〕．
设点M的坐标为〔12﹣2t，0〕，那么点N的坐标为〔12﹣2t﹣2，0+2〕，即N〔10﹣2t，2〕．
∵点N〔10﹣2t，2〕在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上，
∴﹣〔10﹣2t〕2+2〔10﹣2t〕+6=2，整理得：t2﹣8t+13=0，
解得：t1=4﹣，t2=4+．
∴当t为4﹣或4+秒时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
5.〔2022·四川凉山州·8分〕如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】先猜出AE与CF的关系，然后说明理由即可，由题意可以推出四边形AECF是平行四边形，从而可以推出AE与CF的关系．
【解答】解：AE与CF的关系是平行且相等．
理由：∵在，▱ABCD中，
∴OA=OC，AF∥EC，
∴∠OAF=∠OCE，
在△OAF和△OCE中，
，
∴△OAF≌△OCE〔ASA〕，
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF且AE=CF，
即AE与CF的关系是平行且相等．
6.〔2022·广东茂名〕某同学要证明命题“平行四边形的对边相等．〞是正确的，他画出了图形，并写出了如下和不完整的求证．
：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB=CD，　BC=DA　
〔1〕补全求证局部；
〔2〕请你写出证明过程．
证明：　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA〔ASA〕，
∴AB=CD，BC=DA．　．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】〔1〕根据题意容易得出结论；
〔2〕连接AC，与平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，证出∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，由ASA证明△ABC≌△CDA，得出对应边相等即可．
【解答】〔1〕：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB=CD，BC=DA；
故答案为：BC=DA；
〔2〕证明：连接AC，如下列图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA〔ASA〕，
∴AB=CD，BC=DA；
故答案为：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA〔ASA〕，
∴AB=CD，BC=DA．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形对边平行的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
7.〔2022年浙江省台州市〕定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．
〔1〕三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；
〔2〕如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．
〔3〕三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，假设CB=CD=4，那么当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少并求此时对角线AC的长．
【考点】四边形综合题．
【分析】〔1〕根据四边形的内角和是360°，确定出∠A的范围；
〔2〕由四边形DEBF为平行四边形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB=∠DCB=∠ABC，即可；
〔3〕分三种情况分别讨论计算AB的长，从而得出当AD=2时，AB最长，最后计算出对角线AC的长．
【解答】解：〔1〕∵∠A=∠B=∠C，
∴3∠A+∠ADC=360°，
∴∠ADC=360°﹣3∠A．
∵0＜∠ADC＜180°，
∴0°＜360°﹣3∠A＜180°，
∴60°＜∠A＜120°；
〔2〕证明：∵四边形DEBF为平行四边形，
∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．
∵DE=DA，DF=DC，
∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，
∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，
∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，
∴四边形ABCD是三等角四边形
〔3〕①当60°＜∠A＜90°时，如图1，
过点D作DF∥AB，DE∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形，∠DFC=∠B=∠DEA，
∴EB=DF，DE=FB，
∵∠A=∠B=∠C，∠DFC=∠B=∠DEA，
∴△DAE∽△DCF，AD=DE，DC=DF=4，
设AD=x，AB=y，
∴AE=y﹣4，CF=4﹣x，
∵△DAE∽△DCF，
∴，
∴，
∴y=x2+x+4=﹣〔x﹣2〕2+5，
∴当x=2时，y的最大值是5，
即：当AD=2时，AB的最大值为5，
②当∠A=90°时，三等角四边形是正方形，
∴AD=AB=CD=4，
③当90°＜∠A＜120°时，∠D为锐角，如图2，
∵AE=4﹣AB＞0，
∴AB＜4，
综上所述，当AD=2时，AB的长最大，最大值是5；
此时，AE=1，如图3，
过点C作CM⊥AB于M，DN⊥AB，
∵DA=DE，DN⊥AB，
∴AN=AE=，
∵∠DAN=∠CBM，∠DNA=∠CMB=90°，
∴△DAN∽△CBM，
∴，
∴BM=1，
∴AM=4，CM==，
∴AC===．
8.〔2022年浙江省温州市〕如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点四边形，使P在四边形内部〔不包括边界上〕，且P到四边形的两个顶点的距离相等．
〔1〕在图甲中画出一个▱ABCD．
〔2〕在图乙中画出一个四边形ABCD，使∠D=90°，且∠A≠90°．〔注：图甲、乙在答题纸上〕
【考点】平行四边形的性质．
【分析】〔1〕先以点P为圆心、PB长为半径作圆，会得到4个格点，再选取适宜格点，根据平行四边形的判定作出平行四边形即可；
〔2〕先以点P为圆心、PB长为半径作圆，会得到8个格点，再选取适宜格点记作点C，再以AC为直径作圆，该圆与方格网的交点任取一个即为点D，即可得．
【解答】解：〔1〕如图①：
．
〔2〕如图②，
．
9.〔2022年浙江省温州市〕如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
〔1〕求证：△ADE≌△FCE．
〔2〕假设∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】〔1〕由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；
〔2〕由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵E是▱ABCD的边CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE〔AAS〕；
〔2〕解：∵ADE≌△FCE，
∴AE=EF=3，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠BAF=90°，
在▱ABCD中，AD=BC=5，
∴DE===4，
∴CD=2DE=8．
10．〔2022·上海〕：如图，⊙O是△ABC的外接圆， =，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．
〔1〕求证：AD=CE；
〔2〕如果点G在线段DC上〔不与点D重合〕，且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．
【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】〔1〕根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；
〔2〕连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等．
【解答】证明：〔1〕在⊙O中，
∵=，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE〔SAS〕，
∴AD=CE；
〔2〕连接AO并延长，交边BC于点H，
∵=，OA为半径，
∴AH⊥BC，
∴BH=CH，
∵AD=AG，
∴DH=HG，
∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，
∵BD=AE，
∴CG=AE，
∵CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键．